微积分初步第一讲.doc

2014上微积分初步第一讲 时间：2014年3月26日 星期三 晚上6：30——8：30时 开篇 一元微积分 微积分是应用最广泛的数学分支之一。今天没有哪所大学的理工科学生不学习微积分，许多大学社会科学方面的学生也要学习微积分。人们已经不仅仅把微积分看成是一门数学课程。这是由于微积分中蕴含了许多哲学思想，常量与变量，有限与无限，收敛与发散等，无不体现出对立统一和辩证法的思想。如果仅仅把学习微积分看成是掌握一种数学知识，那么你学习的收获就会小很多。 在本书中，我们主要学习一元微积分最基本的知识，只涉及函数、极限、连续、导数、微分、不定积分和定积分最基本的内容。 本课程的考核形式为形成性考核和期末考试相结合的方式。形成性考核为平时作业，成绩占30%，期末考试成绩占70%。考核成绩满分为100分，60分为及格。 试题类型分为单项选择题、填空题、计算题和应用题。单项选择题的形式为四选一。四种题型分数的百分比为：单选20%，填空20%，计算44%，应用16%；考试形式为闭卷，时间为90分钟。 微积分初步第一章 函数、极限与连续 一、函数概念 1、常量与变量：在研究过程中保持不变的量称为常量，而变化着的量称为变量。通常用字母，，，……表示常量，用字母，，，……表示变量。 2、函数的定义：设，是两个变量，如果当在其变化变化范围内任意取定一个数值时，按照一定的关系总有唯一确定的数值与其对应，则称是的函数。记作，其中称为自变量，称为因变量。 定义域 值域 3、函数的特殊性质 （1）单调性：设函数的定义域为D，区间，对于任意的，，且满足： 若恒有，则称函数在区间I是递增函数； 若恒有，则称函数在区间I是递减函数； 若有，则称函数在区间I是不减函数； 若有，则称函数在区间I是不增函数； （2）奇偶性：设函数，其定义域D关于原点对称，若对其定义域D内的任意，恒有成立，则称为偶函数；若对其定义域D内的任意，恒有成立，则称为奇函数。 （3）有界性：设函数的定义域为D，如果存在正数M，使得对于D中的，恒有，则称函数在D上有界。 （4）周期性：设函数的定义域为D，若存在常数使得对于每一个，有，且总有成立，则称函数为周期函数。 4、基本初等函数 （1）常数函数 （2）幂函数 （3）指数函数 （4）对数函数 （5）三角函数：①正弦函数②余弦函数 ③正切函数④余切函数 5、复合函数和初等函数 （1）复合函数：若函数的定义域为U，而函数的定义域为X，且的值域包含在U中，则对X中的每一个，通过有唯一的与之对应，即是的函数，记作，这种函数称为复合函数，其中是中间变量。 （2）初等函数：由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合运算所构成的函数是初等函数。 二、极限的概念与计算 1、数列的极限： ①数列：一般地，按一定规律排列的一串数，，…，，…称为数列，简记为。其中的第项称为该数列的通项。 ②数列的极限：给定数列，如果当无限增大时，无限地趋近某个固定的常数A，则称当趋于无穷时，数列以A为极限。记为 2、函数的极限： ①自变量趋于无穷的情形 ②自变量趋于有限值的情形 3、左极限和右极限： ①左极限： ②右极限： 4、无穷小量：在自变量的某个变化过程中，以0为极限的变量是无穷小量，简称无穷小，常用希腊字母，，等表示。 5、极限的计算： ①极限四则运算法则 ②第一个重要极限： 三、函数的连续性 1、函数的连续性与连续函数 2、函数的间断点 3、连续函数的运算法则 微积分初步作业1解答 ————函数，极限和连续 一、填空题（每小题2分，共20分） 1．的定义域是　　　　　　　　． 解：， 所以函数的定义域是 2．的定义域是　　　　　　　　． 解：， 所以函数的定义域是 3．函数的定义域是　　　　　　　　． 解： ， 所以函数的定义域是 4．，则 ． 解： 所以 5．，则　　 ． 解： 6．函数，则　　 ． 解：， 7．的间断点是　　 　　　　． 解：因为当，即时函数无意义 所以函数的间断点是 8．　　　　　． 解： 9．若，则　　　　　． 解： 因为 所以 10．，则　　　　　． 解：因为 所以 二、单项选择题（每小题2分，共24分） 1．设函数，则该函数是（　）． A．奇函数 　B．偶函数　 　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 解：因为 所以函数是偶函数。故应选B 2．设函数，则该函数是（　）． A．奇函数 　B．偶函数　 　C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 解：因为 所以函数是奇函数。故应选A 3．函数的图形是关于（　）对称． A． 　B．轴　　 C．轴 D．坐标原点 解：因为 所以函数是奇