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高等数学复习要点 第一讲 极限理论 一 基本初等函数的定义域、、、、⑴当为连续函数时,,则有 例1 计算极限 ⑵设为非负整数,则 例2 计算极限：⑴ ⑵ ⑶用两个重要极限求 ① （，） 结论：当时，，。 ② （，） 实质：外大内小，内外互倒 例4 计算极限：⑴ ⑵ ⑷未定式的极限（，，，，，） ①罗必达法则 例5 计算极限： ②设法消去零因子（分子有理化，分母有理化，分子分母同时有理化等方法） 例6 计算极限：⑴ ⑵ ③用等价无穷小量代换（切记：被代换的部分和其他部分必须是相乘关系！） 例7 计算极限 ⑸无穷小量乘有界变量仍是无穷小量。 例8 计算极限：⑴ ⑵ 三 连续和间断 1.连续的定义 2.间断点的定义和分类 四 闭区间上连续函数的性质（这里有一些证明题值得注意）。 第二讲 微分学 一 导数概念 导数： 左导数： 右导数： 实质：差商的极限。 例1 计算极限：⑴ ⑵ 二 各种求导法 ⑴导数公式表（P94），求； 例3设，求，； ⑵复合函数的求导（P90） 例4 求下列函数的导数 ① ② ⑶隐函数求导（方法：把当作的函数，两边对求导） 例5 求下列隐函数的导数 ① ② ⑷对数求导法（多用于幂指函数和由多因子相乘构成的函数的求导） 例6 求下列函数的导数 ① ② ⑸由参数方程确定的函数的求导 重点：由参数方程确定的函数的导数为； 例7 设，求； 三 高阶导数 例8 设，求； 例9 设，求； 四 微分 重点：函数的微分是 例10 设，求； 例11设，求； 五 单调性和极值 重点：⑴由的符号可以判断出的单调性； ⑵求的极值方法：①求出，令其为零，得到驻点及不可导点，姑且统称为可疑点；②判断在可疑点两侧附近的符号，若左正右负，则取得极大值；若左负右正，则取得极小值；若同号，则不取得极值。 例12 求函数的单调区间和极值点。 例13 证明：当时，恒有。 六 最值问题 求函数在区间上的最值之步骤：①求出，令其为零，得到可疑点（驻点和不可导点），并求出函数在这些点处的取值；②求出函数在区间端点取值，； ③比较函数在可疑点和区间端点上的取值，最大者即为最大值，最小者即为最小值。 例14 求下列函数在指定区间上的最值。 ⑴， ⑵， 七 凹凸性和拐点 重点： ⑴凹凸性概念：设在区间内连续，若对（），有 （） 则称在内是凹函数（凸函数）。（用此定义可以证明一些不等式，见下例）。 ⑵由的符号可以判断出的凹凸性。为正号则是凹函数，为负号则是凸函数。 ⑵判断的拐点之方法：①求出，令其为零，得到等于的点和不存在的点；②判断在这些点两侧附近的符号，若为异号，则该点是拐点；若同号，则该点不是拐点。 例15 求下列函数的凹凸区间和拐点。 ⑴ ⑵ 例16 证明：当时，必有（）。 第三讲 积分学 一 不定积分与原函数的概念与性质 ⑴原函数：若，则称为的一个原函数。 ⑵不定积分：的全体原函数称为的不定积分，即 ，这里 ⑶不定积分的性质（P174,共2个） 特别强调：；（切记常数不可丢） 二 定积分的概念与性质 ⑴定积分概念： ⑵定积分和不定积分的区别：定积分是和式的极限，计算结果是个常数；不定积分是由一族函数（被积函数的原函数）构成的集合。 ⑶在上可积的必要条件：在上有界； 充分条件：在上连续； ⑷定积分的几何意义：设，，则表示由，，及围成的曲边梯形的面积。 ⑸定积分的性质（P210,共7个）注意结合定积分的几何意义理解之。 例：⑥若对，有，则有。 ⑦若在上连续，则存在，使得满足。 另：若是奇函数，则。 三 由变上限积分确定的函数 ⑴定义：设在上连续，则称函数 ， 为变上限积分确定的函数。 ⑵求导问题