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第四节 一、无穷限的反常积分 例1. 计算反常积分 例2. 证明第一类 p 积分 例3. 计算反常积分 二、无界函数的反常积分 例4. 计算反常积分 内容小结 备用题 试证 三、? 函数 2. 性质 (2) * 二、无界函数的反常积分 常义积分 积分限有限 被积函数有界 推广 一、无穷限的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 反常积分 (广义积分) 反常积分 第五章 引例. 曲线 和直线 及 x 轴所围成的开口曲 边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引入记号 则有类似牛 – 莱公式的计算表达式 : 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考: 分析: 原积分发散 ! 注意: 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用 “偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 . 证:当 p =1 时有 当 p ≠ 1 时有 当 p 1 时收敛 ; p≤1 时发散 . 因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为 当 p≤1 时, 反常积分发散 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例:曲线 所围成的 与 x 轴, y 轴和直线 开口曲边梯形的面积 可记作 其含义可理解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 下述解法是否正确: , ∴积分收敛 解: 显然瑕点为 a , 所以 原式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5. 讨论反常积分 的收敛性 . 解: 所以反常积分 发散 . 1. 反常积分 积分区间无限 被积函数无界 常义积分的极限 2. 两个重要的反常积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 , 并求其值 . 解: 令 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 定义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 递推公式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * * * * *