02第二章_静电场(定稿4学时).ppt

2.6　唯一性定理 　　　静电场的边值问题可以分为如下三类： 　　　1. 狄利克边界条件：整个边界上的位函数均已知； 　　　2. 牛曼边界条件：整个边界上的位函数的法向导数均已知（即已知表面电荷密度）； 　　　3. 混合边界条件：在一部分边界上位函数已知，而在另一部分边界上位函数的法向导数已知。 　　　解的唯一性定理就是针对上述各种边界条件提出的：不论在何种边界条件下，泊松方程或拉氏方程的解都是唯一的。 　　作业：同学们仿照教材上的证明过程，证明混合边界条件下解的唯一性定理。 　　由唯一性定理得到静电场问题有定解的充分必要条件： 　　充分条件： 　　当给定区域内的源分布后只要再给定了边界面的全部或每部分表面上的电位函数或电位函数的法向导数这两者之一，则区域内的电位就被唯一地确定了（定解）。 　　必要条件： 　　对于一个具有确定电位分布的区域，区域表面上的边界条件必定是被唯一地给定的，（即：不可能同时任意给定表面上的电位函数及其法向导数） 　　解的唯一性定理告诉我们： 　　在使用不同的方法得到形式上不同的解时，它们必定是等价的。 　　下面我们来讨论一个具体而有用的静电场例子。 2.7　电偶极子 电偶极子：一对等值异号的电荷相距一个小的距离 。以下研究电偶极子的远区( 　)电场分布： 采用球坐标如下图示，远区场点( )的电位为： 在远区条件下，有 即 　　。 且 代入上式，得： 定义偶极子的电矩（“电偶极矩”）　（单位：c.m）： 　　 （方向由-q指向＋q） 所以 所以 　　电偶极子电场的特点： 　　1. 远区电场按 　　反比变化； 　　2. 远区电场具有轴对称性（对称轴为　）。 　　由此可得到电场中等位线（面）和电场线（电力线）的求法： 　 　　等位线：在电位表达式中令电位为常数即可得到； 　　电力线：注意到“电力线上每点处线元的方向和该点处电场的方向相同”这一关系， 即利用如下关系求解可得到电力线方程： （k为比例常数） 　的表达式可由其它方法得到（诸如 等），而　　的表达式须根据所选用的坐标系写出。 2.8　介质中的高斯定理 　　在电场中放入电介质（介质）时，由于介质中的分子在外加电场作用下发生极化现象，介质中出现了电偶极矩（即束缚电荷），偶极矩产生的电场叠加于原来电场之上，使原来的电场发生改变。 　　介质极化的微观机理： 　　1. 电子极化； 　　2. 离子极化； 　　3. 固有电矩的取向极化。 定义：介质中某点处的极化强度　（单位： 　） （1） 　 介质在电场中被极化，产生了电偶极矩，可理解为束缚电荷的作用。由此可推导出介质中的高斯定理： （推导略） （2） 　其中， ：外加电场（自由电荷的电场）与介质产生的电场（束缚电荷的电场）的总和，称为宏观电场； 　 ：介质的极化强度，单位为： 　 ：闭合面S内自由电荷电量。 （电偶极矩的体密度）  引入一个辅助矢量 ： 　　　　　　　　　　　　　　　 （3）称为电位移矢量（或电通量密度），则（2）式可化为： 　　　　　　　　　　　　　（4） 对应的微分形式为： 　　　　　　　　　　　　　　　　（5） 注意：（4）和（5）式中的 分别为自由电荷电量和自由电荷体密度，而不包括束缚电荷电量。 对于我们经常用到的线性、各向同性介质，其极化强度 与 （宏观电场）有如下关系：　 　　 （6） （ 为无量纲常数，称为介质的极化率） 　所以 （7） 上式表明了 与 的本构关系， 是一个由介质材料本身的电极化性能决定的常数，称为介质的相对介电常数（ ）。 由上述可总结出在普遍情况下（即有介质存在时），静电场的基本方程： 高斯定理： ， 　环路定理： ， （或 ） 介质本构关系： 介质中束缚体电荷密度： 介质表面束缚面电荷密度： 的分布。 例2.9：计算加有电压u的平行板电容器的束缚电荷。 注意， （1）在本题解题中使用了 　　关系，得到极板上的自由电荷密度 　、　　； （2）由