第二章 静电场.ppt

5．如图所示的导体球（带电Q）和不带电荷的导体球壳，用分离变量法求空间各点的电势及球壳内、外面上的感应电荷。 解：(1)边界为球形，选球坐标系，电荷分布在有限区，选 若将Q移到壳上，球接地为书中P64例题 （2）设球壳内为I区，壳外为II区。 球壳内: 球壳外 电荷在球上均匀分布，场有球对称性， 与 无关 I II （3）确定常数 ① ② ③ 导体壳为等势体 ④ 在导体壳上 （4） （5）球壳上的感应电荷 壳外面 壳内面 以上结果均与高斯定理求解一致。 R0 z 6．均匀介质球（介电常数为 ）的中心置一自由电偶极子 ，球外充满另一种介质（介电常数为 ），求空间各点电势和束缚电荷分布。 解: (1) 与 的边界为球面，故选球坐标系，电荷分布在有限区，选 (2)设球内电势为 ，球外电势为 ,球外无自由电荷分布，电势满足 。但球内有自由偶极子，不满足拉普拉斯方程，但满足泊松方程。考虑偶极子使介质极化，极化电荷分布在偶极子附近和球面上。自由偶极子在介质中产生的电势 所以 满足 还可设 为简单令 考虑轴对称： （3）确定常数 R→0， 有限 R→∞ 边值关系 并注意到 比较 的系数，得 （4）电势解为 （5）球面上束缚（极化）电荷分布 [补充题3] 一半径为R0的球面，给定球面上任意一点 P 的电势 ， 为常数，求面内外的电势分布。 R0 P O 答案： 注意： 答案： 作业： 1、2、4、5 补充题 3、4 选作：6 *、补充题 1、2 [补充题4] 有一半径为 a 的无限长圆柱导体，柱轴沿 方向，沿 方向上有一外加均匀电场 ，求空间电势分布（球外为真空）和面电荷分布（令柱面处电势为零）。 x y z O 第二章第四节 镜 象 法 §2.4 镜 象 法 重点掌握： 1、镜象法的基本概念 2、求解电势的基本方法 求解泊松方程的难度 、电象法的概念和适用条件 一般静电问题可以通过求解泊松方程或拉普拉斯方程得到电场。但是，在许多情况下非常困难。例如，对于介质中、导体外存在点电荷的情况虽然可以采用叠加法求解，但是求解比较困难。求解的困难主要是介质分界面或导体表面上的电荷一般非均匀分布的，造成电场缺乏对称性。 Q Q 2. 以唯一性定理为依据 在唯一性定理保证下，采用试探解，只要保证解满足泊松方程及边界条件即是正确解。 特别是对于只有几个自由点电荷时，可以将导体面上感应电荷分布等效地看作一个或几个点电荷来给出尝试解。 电象法概念、适用情况 电象法： 用假想点电荷来等效地代替导体边界面上的面电荷分布，然后用空间点电荷和等效点电荷迭加给出空间电势分布。 适用情况： 所求区域有少许几个点电荷，它产生的感应电荷一般可以用假想点电荷代替。 b)导体边界面形状比较规则，具有一定对称性。 c) 给定边界条件 注意： a）做替代时，所研究空间的泊松方程不能被改变（即自由 点电荷位置、Q 大小不能变）。所以假想电荷必须放在 所求区域之外。 b）不能改变原有边界条件（实际是通过边界条件来确定假 想电荷的大小和位置）。 c）一旦用了假想（等效）电荷，不再考虑原来的电荷分布。 d）坐标系选择仍然根据边界形状来定。 格林等效层定理（不证明）* （1）等势面包围的体积V内的电荷在V外产生的电势与在此等势面上置一导体面，并将V内电荷都搬到导体上所产生的电势完全一样。 （2）相反，带电导体所产生的电势也可以用导体面内一定等效电荷分布来代替，只要它产生与导体表面完全重合的等势面。 等势面 V Q P 导体面 Q P Q Q’ 四、应用举例 接地无限大平面导体板附近有一点电荷，求空间电势。 Q Q/ P z 解：根据唯一性定理左半空间 右半空间，Q在（0，0，a）点， 电势满足泊松方程。 边界上 从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左半空间 z 轴上。 设电量为 ，位置为（0，0， ） 由边界条件确定 和 、 唯一解是 因为象电荷在左半空间，所以舍去正号 解 讨论：（a）导体面上感应电荷分布 （b）电荷Q 产生的电场的电力线全部终止在导体面上 它与无导体时，两个等量异号电荷产生的电场在 右半空间完全相同。 （c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称 为镜象法（又称电象法） （d）导体对电荷Q 的作用力相当