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第九章 探索型与开放型问题第40课　探索性问题 探究提高：本题给定条件但无明确结论，或结论不唯一，而需探索发现与之相应的结论． 知能迁移3：如图，已知E，F为平行四边形ABCD对角线DB的三等分点，连结AE并延长交DC于P，连结PF并延长交AB于Q. (1)任意画一个平行四边形，且画出满足上述条件的图形，试用刻度尺在上图和自己画的图中量得AQ，BQ的长度，估计AQ，BQ间的关系，并填入下表： 自画图 上图 AQ，BQ间关系 BQ长度 AQ长度 (2)由上表可猜测AQ，BQ间的关系是__________． (3)上述(1)中的猜测AQ，BQ间的关系成立吗？为什么？ (4)若将平行四边形ABCD改为梯形ABCD(AB∥CD)，其他条件不变，此时(1)中猜测AQ，BQ间的关系是否成立？(不必说明理由) 解：(1) 注：测量数据基本接近上表中的数据，均可得分． （2）猜测：AQ＝3QB. AQ＝3BQ 1.1 3.3 图②中 AQ＝3BQ 0.9 2.7 图①中 AQ、BQ间的关系 BQ长度 AQ长度 (3)成立． ∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB， ∴△PDF∽△QBF， ∴ ＝ ， ∵E、F为BD三等分点， ∴ ＝2， 同理 ＝2， ∴ ＝4， ∴ ＝3，即AQ＝3BQ.　 (4)成立． 题型四　条件探索型问题 例4：已知：如图①，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1 cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2 cm/s；连接PQ.若设运动的时间为t(s)(0t2)，解答下列问题： (1)当t为何值时，PQ∥BC ? (2)设△AQP的面积为y(cm2)，求y与t 之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻 t，使线段PQ恰好把Rt△ACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由； (4)如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由． 解：(1)由题意：BP＝t cm, AQ＝2t cm， 则CQ＝(4－2t) cm， ∵∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm， ∴AB＝5 cm，∴AP＝(5－t) cm. ∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC. ∴AP∶AB＝AQ∶AC， 即(5－t)∶5＝2t∶4，解得t＝ ， ∴当t为秒时，PQ∥BC.　 (2)过点Q作QD⊥AB于点D， 则易证△AQD∽△ABC， ∴AQ∶QD＝AB∶BC，∴2t∶DQ＝5∶3，∴QD＝ t. ∴△APQ的面积：×AP×QD＝ (5－t )× t， ∴y与t之间的函数关系为：y＝3t－ t2.　 (3)由题意：当面积被平分时有： 3t－ t2＝ × ×3×4，解得：t＝ ， 当周长被平分时：(5－t)＋2t＝t＋(4－2t)＋3， 解得t＝1， ∴不存在这样t的值．　 * 基础知识 自主学习 要点梳理 1．条件探索型问题．给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立．应具备的条件，而满足结论的条件往往不唯一，需要采用证明、推断去探索发现并补充完善，使结论成立．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因． 2．结论探索型问题．给定明确条件但未明确结论或结论不唯一，要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，然后对猜想的结论，进行证明．这类题主要考查解题者的发散思维和所学基本知识的应用能力． 3．存在性探索型问题，指在一定条件下需探索发现某种数学关系是否存在的问题．解题时一般是先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证．若导出矛盾，则否定先前假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论． 1．请你给x选一个合适的值，使方程 ＝ 成立，你选择的x＝________. 基础自测 3 解：解方程 ＝ ， 2(x－2)＝x－1，2x－4＝x－1，x＝3， 经检验，x＝3是方程的根， ∴x＝3 解：解不等式组，得xm＋2， 而由已知x－1，得m＋2＝ － 1， m＝－3 2．关于x的不等式组