空间角与探索性问题（2种考法）原卷版.pdf

重难点08空间角与探索性问题(2种考法)

【目录】

考法1：空间角问题

考法2：探索性问题

Q二、命题规律与备考策略

1.异面直线所成的角的三步曲

QB)。［即依据定义作平行线，作出异面直线所成的角1

即证明作出的角是异面直线所成的角：

需‘三民夜序由相由而£而甚电向南京薪始

或直角，则它就是要的角，如果出的角是钝：

、角，则它的补角才是要的角；

2.直线和平面所成角的关键

作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所，有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体

积法得垂线长，进而用垂线长比上斜线长可得所成角的正弦值。

3.找二面角的平面角的常用方法

(1)由定义做出二面角的平面角

(2)用三垂线定理找二面角的平面角

(3)找公垂面

(4)划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角

4.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤

(D建立空间直角坐标系；

(2)分别出两条异面直线的方向向量的坐标；

(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；

(4)结合异面直线所成角的范围出异面直线所成的角.

.利用向量法求两平面夹角的步骤

(1)建立空间直角坐标系；

(2)分别出二面角的两个半平面所在平面的法向量；

(3)两个法向量的夹角；

(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)

6.探某些点的具体位置，使得线面满足平行或垂直关系，是一类逆向思维的题目。一般可采用两种方法:

一是先假设存在，再去推理，下结论；二是运用推理证明计算得出结论，或先利用条件特例得出结论，然后

再根据条件给出证明或计算。

［关键技巧》空间向量适合解决立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、结论、推理，只需

要通过坐标运算进行判断。解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题

转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，能更简单、有效地解决问题，应善于运用这一方法

解题。

a二或方法

考法1：空间角问题

1.2（023・上海青浦・统考二模）如图，在直三棱柱ABC-A4c中，底面ASC是等腰直角三角,

AC=BC=AA=2,。为侧棱AA的中点.

i

⑴证：平面ACCM；

2（）二面角B.-CD-C,的正弦值.

2.2（023・上海宝山•统考二模）四棱锥的底面是边长为2的菱形，ZZMS=60°,对角线AC与

8。相交于点O,POl^ABCD,PB与底面ABC。所成的角为60。，E是P8的中点.

B

⑴求异面直线DE与执所成角的大小（结果反三角函数值表示）;

2（）证明：OE〃平面丛。，并求点E到平面出。的距离.

3.2（023•上海闵行•统考二模）如图，在四棱锥PA2C。中，底面ABC。为矩形，尸。回平面A8CD,

PD=AD=2,AB=4,点E在线段A8上，S.BE=^-AB.

⑴求证：CEB平面PBZ）；

⑵求二面角P—CE—A的余弦值.

4.2（023•上海黄浦・上海市敬业中学校考三模）已知，正三棱柱ABC-4旦G中，AA=2,AC=1,延长CB

1

至。，使CB=3D.

⑴求证：CA1DA；

⑵求平面B.AO与平面AOC所成锐二面角的余弦值.

5.2（023•上海闵行•上海市七宝中学校考二模）已知正方体ABC。-AAGR,点£为4