第章 解析函数的幂级数表示 复习教案.doc

时间 2013年 编号 4 复变函数第4章复习总结教案 组 别 第4小组 组 长 王沛楚 讲 解 员 刘小翠 王沛楚 教 案 作 者 黄月梅 华利蓉 刘青华 李倩茹 刘小翠 马丽 马雪燕 彭伊琳 郝春艳 曹阳 董文建 叶盈 曾佳 2013年06月 第4章 解析函数的幂级数表示 复习教案 教学课题：解析函数的幂级数表示的复习总结 教学目标：通过对整章知识的复习，让同学们对第四章有个整体的把握，掌握几种基本题 型的做法。 教学方法：讲授，解析典型习题 教学重点：幂级数的性质，泰勒定理及其基本展式，零点的分类及零点的阶，最大模与最 小模原理。 教学难点：利用幂级数的性质，泰勒定理及其基本展式，零点的分类及零点的阶，最大模 与最小模原理等具体知识来解决实际问题。 教学过程： 一 把本章的基本内容回顾一遍 4.1复数列与复级数P136——p148 ｛ 4.1.1复数列与复级数（敛散性） 4.1.2复函述项级数的一致收敛与判别（定义与判别） 4.1.3复数项级数和函数的性质（连续性、逐项积分性、逐项微分性） 重点掌握：幂级数收敛半径R的计算，幂级数的几个性质，加减性、乘积性、连续性逐项积分性、和函数的解析性与逐项微分性。 定理：4.12 4.13 4.15 4.16 例题4.8 4.2幂级数p149——p155 ｛ 4.2.1幂级数的敛散性（幂级数的定义、阿贝尔第一定理） 4.2.2幂级数收敛半径的计算 4.2.3幂级数的几个性质 重点掌握：幂级数收敛半径R的计算lim ,或lim ，或lim 幂级数的几个性质，加减性、乘积性、连续性逐项积分性、和函数的解析性与逐项微分性。 定理：4.12 4.13 4.15 4.16 例题4.8 4.3泰勒定理与解析函数的幂级数展开p156——p165 ｛ 4.3.1泰勒定理 4.3.2初等解析函数的基本展式 重点掌握：泰勒定理、基本展式（e^z Cos(z) Sin(z) ln(1+z) ln(1-z) 1/(1+z) 1/(1-z) (1+z)^a) 了解解析函数的幂级数定义法和奇点定义。 定理：4.18 4.19 4.20 例题4.9——例题4.17 4.4解析函数零点的孤立性与唯一性p165——p175 ｛ 4.4.1解析函数零点的孤立性 4.4.2解析函数的唯一性 4.4.3最大模与最小模原理 4.4.4施瓦兹引理 重点掌握：零点的分类及零点的阶、解析函数的唯一性、最大模与最小模原理。 定义：4.8 4.9 4.10 定理：4.21 4.22 4.23 4.24 引理：4.1 例题4.18——例题4.20，例题4.23——例题4.27 二 讲解四个习题 p177—11 小结：幂级数内闭一致收敛性和绝对收敛性，逐项积分性 2.p180—21(2) 指出下列函数在零点z = 0的阶. 6sinz3 + z3(z6? 6)； 小结：零点的阶的计算 3.p181—28 设 f (z)和g (z)都在区域D 内解析，且 f (z)g (z) ≡ 0， 证明：在区域D 内，或者 f (z) ≡ 0或者g(z) ≡ 0. 证明 ：由题设，若在区域D 内， f (z) ≡ 0，则结论成立。否则存在a ∈D ，使得 f (a) ≠ 0，由连 续函数的局部不等性，存在点a 的邻域U (a) ? D ，使得在U (a)内， f (z) ≠ 0，注意到 f (z)g(z) ≡ 0 ， 从而