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第四章 平面一般力系 §4-3 平面一般力系向一点的简化 主矢与主矩 一、平面一般力系向一点的简化 二、简化结果 主矩MO 二、合力矩定理 §4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §4-6 平面平行力系的平衡方程 §4-7 静定与超静定问题 §4-8 物体系的平衡 §4-9 桁架 * * §4-1 工程中的平面一般力系问题 §4-2 力线平移定理 §4-3 平面一般力系向一点的简化 主矢与主矩 §4-4 简化结果分析 合力矩定理 §4-5 平面一般力系的平衡条件与平衡方程 §4-6 平面平行力系的平衡方程 §4-7 静定与超静定问题 §4-8 物体系的平衡 §4-9 桁架 §4-1 工程中的平面一般力系问题 平面一般力系：分布在同一平面内，其作用线既不汇交于一点也不完全平行的力系。 §4-2 力线平移定理 力线平移定理：作用于刚体上的力可以平行移动到刚体内任一点，但必须同时附加一对力偶，其力偶的矩等于原力对平移点之矩。 F=-F=F B A d F B A d F F F B A d F F F 添 加 一 对 平衡力 m=Fd F、F为一对力偶 彼此 等效 O F1 d1 F2 d2 F3 d3 在力系的作用平面内，任选一点O作为简化中心，根据力线平移定理，将力系中诸力Fi平移到简化中心后将得到平面汇交力系Fi和矩为mi的平面附加力偶系。 平面汇交力系Fi可合成一个作用点在简化中心的合力R ,称该合力为原力系的主矢； 矩为mi的平面附加力偶系则可合成一对矩为MO的力偶，称该力偶矩为原力系的主矩。 F1 F2 F3 d1 d2 d3 O F3 F2 F2 F1 m1 m2 m3 O F3 F2 F1 m1 m2 m3 R MO F3 主矢R 根据合力投影定理，R’在坐标轴上的投影分别为 R’的大小和方向为： 平面一般力系的主矢是原力系中各力的矢量和，与简化中心选取无关 其中：α为R’与x轴正向间的夹角 主矩一般与简化中心有关，其值等于原力系中各力对简化中心之矩的代数和。 §4-4 简化结果分析 合力矩定理 一、简化结果分析 若 ：原力系简化成一对力偶且力偶矩与简化中心无关； 若 ：原力系与通过简化中心的力等效； 若 ：原力系与一个大小和方向与R’相同、作用线与简化中心的距离 的合力等效，合力作用线与简化中心的位置关系由MO的符号确定。 当平面力系可以合成一个合力时，合力R对作用面内任一点O之矩等于各分力Fi对同一点之矩的代数和。即： 【证明】由上图知： 故 因 故 注意：分力可以是集中力、分布力或力偶。 显然， ，故该定理可用于由分力矩求合力矩以及求合力作用线的位置等。 【例4-1】求图示简支梁主动力的合力大小及其作用线位置。 q(x) x dx A B q l/2 l/4 l/4 m=ql2 P=3ql 【解】(1)求分布载荷 (2)求合力： (3)求合力矩： (4)求合力作用线位置： 结论：1）分布载荷的合力大小等于载荷图的面积，合力的作用点在载荷图的形心上;2）分布载荷的力矩为载荷图的面积与其形心之积。 一、平面一般力系平衡的充要条件 力系的主矢和力系对任一点的主矩都等于零。即： 二、平面一般力系平衡方程的三种形式 一矩式 原力系中诸力在其作用面内两相交轴上的投影的代数和分别为零，原力系中诸力对任一点之矩的代数和为零。 二矩式 A、B两点连线不与x轴(或y轴)垂直，确保三个方程独立。 三矩式 A、B、C三点不共线，确保三个方程独立。 三、注意事项 平面一般力系的平衡方程只有三个独立方程，最多只能求解三个未知数； 在求解具体问题时，可酌情选择一矩式、二矩式或三矩式方程组且不一定要全部列出平衡方程； 力矩平衡方程矩心选择原则上是任意的，可以在物体上或物体外，尽可能选择未知而又不必要的力的作用点或未知而又不必要的力的作用线与某些已知力的作用线的交点为矩心； 力平衡方程投影轴的选取原则上是任意的，但尽可能使投影轴与未知而又不必要的力垂直。 四、解题步骤 选既含已知力又含未知力的研究对象受力分析； 列合适的平衡方程，尽可能避免求解联立方程； 求解。 五、例题 【例4-2】已知AB杆长为l，小球自重分别为WA、WB 。不计小球半径、杆自重和所有摩擦，求系统平衡时的距离u。 A B u β α NA NB WB WA 【解】1)选球A、球B和杆组成的整体为研究对象作受力分析。 2)对整体列平衡方程。以NA、NB作用线交点