d第四章空间力系.ppt

§4 - 1 回 顾 1、力在直角坐标轴上的投影 2、力的分解 3、空间力偶（F, F ’ )的力偶矩矢 力偶矩矢的三要素：大小、方位和转向 4、汇交力系、力偶系的合成与平衡 合成结果： R = ΣFi， M = ΣMi 平衡条件 ΣFi = 0 ， ΣMi = 0 §4 - 2 力对点的矩和力对轴的矩 1. 回顾力对点的矩 力F 对点O的矩的矢量MO(F )， 大小为： | MO(F)| = Fh = 2△OAB 式中△OAB为图中 阴影部分的面积。 MO( F ) = r×F 力对点的矩矢等于矩心到力的作用点的矢径与该力的的矢量积。 力对点的矩矢为定位矢量 若以 O 点为原点,令 i、j、k 分别为坐标轴 x、y、z 方向的单位矢量，设力在三坐标轴的投影为 X、Y、Z，则有 r = x i + y j + z k F = X i + Y j + Z k 2. 力对轴的矩 为了度量力对绕定轴转动的物体作用效果，必须了解力对轴的矩。 以一个门为例： 力对轴的矩之定义 力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。 力对轴的矩之解析表达式 设空间中有一个力 F 例 4-1 手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为α，若CD = a，BC∥x轴，CE ∥y轴，AB = BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。 解法1 将力F沿坐标轴分解为Fx 和Fz。 解法2 直接套用力对轴之矩的解析表达式： 力在 x、y、z轴的投影为 X = F sin α Y = 0 Z = - F cos α 3. 力对点的矩和力对轴的矩的关系 力对点的矩矢量可以写成： 力对点的矩和力对轴的矩的关系（续） 如果力对通过O点的直角坐标轴 x、y、z 的矩是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为： 例 4-2 图中力F 的大小为10kN，求的力 F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度单位为m) 例 4-2（续1） 2、求力的投影（F = 10kN） 例 4-2（续3） 3、求力对轴的矩 例 4-2（续4 ） （求力对轴的矩也完全可以先将力 F 分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩） §4 - 3 空间力系向一点简化 O点称为简化中心； R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为： 结论 空间任意力系向一点简化，可得一力和一个力偶。这个力的大小和方向等于该力系的主矢，作用线通过简化中心O；这个力偶的矩矢等于该力系对简化中心的主矩矢。 主矢与简化中心无关；主矩一般情况下与简化中心的位置有关。 §4 - 4 空间力系的简化结果分析 1、空间力系简化为一个合力偶 主矢R’ = 0；主矩MO≠ 0 主矩与简化中心无关。 2、空间力系简化为一个合力?合力矩定理 ①　主矢R’ ≠ 0；主矩MO = 0 合力的作用线通过简化中心。 ② 主矢R’ ≠ 0；主矩MO ≠ 0且MO⊥ R’ 合力矩定理 R =∑Fi ，d= |MO| / R ∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即 MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F) ∴得关系式 MO( R ) = ∑MO(F ) 即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。 将上式向任意轴投影（如 z 轴）得： Mz ( R ) = ∑M z( F ) 3、空间力系简化为力螺旋的情形 主矢R’ ≠ 0；主矩MO ≠ 0　且　MO∥ R’ ?主矢R’ ≠ 0；主矩MO ≠ 0　且MO与R’即不平行也不正交 。 M”O = MO sinα；M’O = MO cosα M’O和R’组成力螺旋，其中心轴距O点的距离为： §4 - 5 空间力系的平衡方程 空间力系平衡的充分必要条件： 所有力在三个坐标轴中的每一个轴上的投影的代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的矩的代数和也为零。 除了上述的基本方程，还有所谓的 4 力矩、5力矩和 6 力矩式。 ?几种特殊情形平衡规律 [Ⅰ] 汇交力系 ∵所有的力矩方程恒等于0 ∴ 汇交力系有三个平衡方程： ∑X = 0，∑Y= 0，∑Z