连续系统振动.ppt

* 《振动力学》 * 变截面梁的动力学方程： 等截面梁的动力学方程： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 固有频率和模态函数 变截面梁的动力学方程： 讨论梁的自由振动 自由振动方程： 根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为： 代入自由振动方程： 对于等截面梁： 通解： 和 应满足的频率方程由梁的边界条件确定 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 和 由系统的初始条件确定 等截面梁的自由振动方程： 梁的主振动： 通解： 代入，得： 第 i 阶主振动： 无穷多个 系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 常见的约束状况与边界条件 （1）固定端 挠度和截面转角为零 （2）简支端 挠度和弯矩为零 （3）自由端 弯矩和剪力为零 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 例：求悬臂梁的固有频率和模态函数 解： 一端固定，一端自由 边界条件 固定端：挠度和截面转角为零 自由端：弯矩和截面剪力为零 得： 以及： 非零解条件： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 简化后，得： 频率方程 当 i=1,2,3时 解得： 当 时 各阶固有频率： 对应的各阶模态函数： 其中： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 铅垂梁的前三阶模态形状 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 一个节点 两个节点 无节点 节点位置 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 例：简支梁的固有频率和模态函数 解： 一端圆柱固定铰 另一端圆柱滑动铰 固定铰：挠度和截面弯矩为零 滑动铰：挠度和截面弯矩为零 得： 以及： 频率方程： 固有频率： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 频率方程： 固有频率： 模态函数： 第一阶模态 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 模态形状 节点位置 无节点 一个节点 两个节点 三个节点 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 例：两端自由梁的固有频率和模态函数 背景：导弹飞行 系统类别：半正定系统 存在刚体模态 导弹飞行1 导弹飞行2 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 频率方程： 模态函数： 其中： 当 i=1,2,3时 解得： 当 时 自由端：弯矩和截面剪力为零 当 时 对应刚体模态 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 第二阶模态 第三阶模态 第四阶模态 第五阶模态 自由梁的模态形状 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 说明： 以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上） 若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响 铁木辛柯梁 （Timoshenko beam） 考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 6.6 梁的横向强迫振动 梁若为等截面，则： 变截面梁的自由振动方程： 主振动： 代入，得： 设： 有： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 1 主振型的正交性 * 《振动力学》 * (2)式两边乘 (1)式两边乘 并沿梁长对 x 积分： 利用分部积分 ： 在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零 (3) 代入（3）式，有 ： 并沿梁长积分可得： 同理， 相减得 ： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 (2) (1) * 《振动力学》 * 如果 时， 则有： 主振型关于质量的正交性 由（4）、（5）式，得 ： 主振型关于刚度的正交性 如果 i = j 第 j 阶主质量 第 j 阶主刚度 第 j 阶固有频率 主振型中的常数按下列归一化条件确定 ： 正则振型 正则振型的正交性： * 《振动力学》 * 两边乘 2、梁横向振动的强迫响应 梁的横向强迫振动方程 ： 令 ： 代入 ： 并沿梁长对 x 积分： 由正交性条件，得： 第 j 个正则坐标方程 第 j 个正则坐标的广义力 由分部积分 ： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 得到 后，即可得到梁的响应 梁初始条件的处理 假定梁的初始条件为： 代入： 两式乘 并沿梁长积分，由正交性条件可得： 第 j 个正则坐标方程： 第 j 个正则模态响应： 连续系统的振动 / 梁的弯曲振动 * 《振动力学》 * 如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用