振动力学与控制基础 第四章 连续体振动-弦、杆、轴.ppt

3连续体振动求解与分析由三角函数正交性，可得3连续体振动求解与分析主振型的正交性正交性作差3连续体振动求解与分析作差可得由于不同阶数下系统模态频率是互异的，故正交性得证。3连续体振动求解与分析（2）受迫振动采用分离变量法，假设方程的解为，根据模态叠加法，连续体系统的受迫振动表示为代入微分方程，可得3连续体振动求解与分析根据杜哈梅积分，可得微分方程的解为通解特解故，连续体受迫振动的解为3连续体振动求解与分析故，弦的运动形式为3连续体振动求解与分析得到频率方程3连续体振动求解与分析图解法分解3连续体振动求解与分析特殊情况这一结果与单自由度系统的结果相同，说明在计算基频时，如果杆本身质量比悬挂的质量小得多时，可以略去杆的质量，此时杆扮演了弹簧。3连续体振动求解与分析特殊情况3连续体振动求解与分析由此，杆的频率方程为杆的固有圆频率解得3连续体振动求解与分析代入3连续体振动求解与分析3连续体振动求解与分析特殊情况3连续体振动求解与分析由此，轴的频率方程为轴的固有圆频率解得3连续体振动求解与分析代入3连续体振动求解与分析由此，杆的频率方程为杆的固有圆频率解得根据杜哈梅积分的解3连续体振动求解与分析其中，杆的振动响应为4基于物理信息神经网络的波动方程统一解法弦、杆、轴自由振动微分方程统一为波动方程传统求解方法：分离变量构造试探解对于复杂结构，试探解往往很难构造，且构造精度较低。为避免试探解的构造过程，以求解波动方程为例，结合深度学习的知识，介绍基于物理信息神经网络（Physics-InformedNeuralNetwork，PINN）的求解方法。4基于物理信息神经网络的波动方程统一解法什么是PINN？PINN其主要包含两个信息，即物理信息“PI”和神经网络“NN”，体现了可认知和可测量2个方面。可认知表现为方程的物理信息提供了神经网络需要逼近的目标，从而为神经网络提供了可解释性；可测量则是指对物理信息的数值化测度，即通过模拟、计算和实验等方式获得体现方程物理信息的数据，最终以数据驱动方式训练神经网络实现从“NN”向“PI”的逼近。PI与NN对于一个PDE的关系如图。4基于物理信息神经网络的波动方程统一解法PINN对于一个PDE的求解流程如下：（1）确定训练数据集:给出PDE初边值问题的形式，采用随机抽样方法和超立方拉丁抽样方法随机确定初始数据、边值数据和内部配置采样点数据所对应的训练样本数目；（2）构建神经网络：定义D层全连接前馈神经网络模型。每一层隐藏层都采用非线性激活函数，如Sigmoid激活函数、tanh激活函数、ReLU激活函数、LeakyReLU激活函数等，它们构成了所需要训练的网络参数；（3）构建损失函数：根据所考虑的问题构建相应的损失函数来度量预测值和实际值之间的差异。对于参数发现这类反问题，只需要将PDE中所有的参数作为与网络参数类似的可学习参数，从而利用训练数据求解PDE中的未知参数。常见的损失函数有均方误差、平均绝对误差、HuberLoss/SmoothL1Loss、Log-CoshLoss等；（4）训练神经网络：通过优化损失函数来训练神经网络，以最小化误差；（5）得到PDE解4基于物理信息神经网络的波动方程统一解法故，PINN中的损失函数可以构造为4基于物理信息神经网络的波动方程统一解法训练神经网络，最小化损失4基于物理信息神经网络的波动方程统一解法4基于物理信息神经网络的波动方程统一解法弦位移响应云图，传统解与PINN解对比传统解PINN解5总结*连续体振动——弦、杆、轴振动力学与控制基础0.引言连续体振动方程推导连续体振动初始条件与边界条件的确定连续体振动求解与分析基于物理信息神经网络的波动方程统一解法总结目录0引言连续系统：具有分布质量和分布弹性的系统，即结构的惯性、弹性以及阻尼都是连续分布的。如如弦、杆、轴、梁、板等。连续系统的运动状态可用时间和坐标的连续函数来描述：基本假设如下：1.线弹性，本构满足线性关系2.小变形3.材料是均匀连续的，且各向同性0引言拉伸产生纵向振动扭转产生扭转振动拉伸产生横向振动1连续体振动方程推导--弦的横向振动方程该弦微段的平衡方程为对微幅振动，有弦微段的受力若不考虑横向力，则弦自由振动微分方程表示为波动方程1连续