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四边形辅助线作法技巧 1.平行四边形中常用辅助线的添法 平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理。 其常用方法有下列几种，举例简解如下： (1)连对角线或平移对角线 (2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形 (3)连接对角线交点与一边中点 (4)过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线 (5)连接顶点与对边上一点的线段 (6)延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。 (7)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等. 2.梯形中常用辅助线的添法 梯形通过添加适当的辅助线能将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。梯形中常用到的辅助线有： （1）在梯形内部平移一腰 （2）梯形外平移一腰 （3）梯形内平移两腰 （4）延长两腰 （5）过梯形上底的两端点向下底作高 （6）平移对角线 （7）连接梯形一顶点及一腰的中点 （8）过一腰的中点作另一腰的平行线 （9）作中位线 一、 梯形的辅助线 图形 平移腰，转化为三角形、平行四边形 平移对角线，转化为三角形、平行四边形 延长两腰，转化为三角形 作高，转化为直角三角形和矩形 中位线与 腰中点连线 1、平移一腰： 例1. 如图所示，在直角梯形ABCD中，A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17. 求CD的长. 解：过点D作DE∥BC交AB于点E. 又AB∥CD，所以四边形BCDE是平行四边形. ∴DE＝BC＝17，CD＝BE. 在Rt△DAE中，由勾股定理，得 AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64 ∴AE＝8. ∴BE＝AB－AE＝16－8＝8. 即CD＝8 2、平移两腰： 例3.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分别是AD、BC的中点，连接EF，求EF的长。 解：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H ∴∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90° 则△EGH是直角三角形 ∵E、F分别是AD、BC的中点，容易证得F是GH的中点 ∴ 3、平移对角线： 例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4 求梯形ABCD的面积． 解：如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E点． ∵AD∥BC ∴四边形ACED是平行四边形 ∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4 ∵在△DBE中， BD=3，DE=4，BE=5 ∴∠BDE=90° 作DH⊥BC于H，则 例5、如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD= 求证：AC⊥BD (例6) （例7） ∴AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10 ∵AC=BD= 又 ∴AC⊥CE ∴ AC⊥BD 例6、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面积 解：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E， ∴四边形ACED是平行四边形， 即 由勾股定理得 （cm） ∴ 即梯形ABCD的面积是150cm2。 4.延长延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。 例7、如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的长 解：延长BA、CD交于点E ∵在△BCE中，∠B=50° ∠C=80° ∴∠E=50° ∴BC=EC=5 同理可得AD=ED=2 ∴CD=EC－ED=5－2=3 例8. 如图所示，四边形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC. 判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论. 解：四边形ABCD是等腰梯形. 理由：延长AD、BC相交于点E ∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA ∴△DAB≌△CBA ∴∠DAB＝∠CBA ∴EA＝EB 又AD＝BC ∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD 又∠E＋∠EAB＋∠EBA ＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180° ∴∠EDC＝∠EAB ∴DC∥AB 又 AD不平行于BC ∴四边形ABCD是等腰梯形. 5.即通过作对角线，使梯形转化为三角形 例9、如图6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥ADBC=CD，BE⊥CD于点E，求证：AD=DE。