高考数学试题与三角函数习题精选精讲2.doc

透视高考数学试题与三角函数有关的五大热点 解答三角高考题的一般策略： （1）发现差异：观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”。 （2）寻找联系：运用相关三角公式，找出差异之间的内在联系。 （3）合理转化：选择恰当的三角公式，促使差异的转化。 三角函数恒等变形的基本策略： （1）常值代换：特别是用“1”的代换，如1=cos2θ+sin2θ=tanx·cotx=tan45°等。 （2）项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin2x+2cos2x=(sin2x+cos2x)+cos2x=1+cos2x；配凑角：α=（α+β）－β，β=－等。 （3）降次，即二倍角公式降次。 （4）化弦（切）法。将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦（切）。 （5）引入辅助角。asinθ+bcosθ=sin(θ+)，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定，角的值由tan=确定。 三、与三角函数有关的五大热点问题 1．三角函数的图象问题：这是一类研究三角函数的奇偶性、对称性、单调性与函数图像的交点坐标及图像变换问题，解此类问题一定要注意三角函数的周期在解题中决定作用，千万不可忽视。 例1.(06重庆卷)设函数f(x)=cos2cos+sinrcosx+a(其中＞0,aR),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为. （Ⅰ）求ω的值； （Ⅱ）如果f(x)在区间上的最小值为，求a的值. 例2.（06山东卷）已知函数f(x)=A(A0,0,0函数，且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1，2）. （1）求; （2）计算f(1)+f(2)+… +f(2 008). 解：（I） 的最大值为2，. 又其图象相邻两对称轴间的距离为2，， . 过点， 又. （II）解法一：， . 又的周期为4，， 解法二： 又的周期为4，， 例3.（06福建卷）已知函数f(x)=sin2x+xcosx+2cos2x,xR. （I）求函数f(x)的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？ 本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力。满分12分。 解：（I） 　　　　　　　　　 的最小正周期 由题意得 即　 的单调增区间为 （II）方法一： 先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。 方法二：把图象上所有的点按向量平移，就得到的图象。 2．三角函数的性质性质问题 近年来，高考解答题加大了对三角函数性质的考查力度，它不仅考查了函数的有关概念，还考查三角变换技能。 例4.（06辽宁卷）已知函数，.求: (I) 函数的最大值及取得最大值的自变量的集合； (II) 函数的单调增区间. 【解析】(I) 解法一: 当,即时, 取得最大值. 函数的取得最大值的自变量的集合为. 解法二: 当,即时, 取得最大值. 函数的取得最大值的自变量的集合为. (II)解: 由题意得: 即: 因此函数的单调增区间为. 【点评】本小题考查三角公式,三角函数的性质及已知三角函数值求角等基础知识,考查综合运用三角有关知识的能力. 3．关于三角函数求值问题 三角函数求值问题，必须明确求值的目标。一般来说，题设中给出的是一个或几个特定角，即便这些角都不是特殊角，其最终结果也应该是一个具体的实数；题中给出的是某种或几种参变量关系，其结果既可能是一个具体的实数，也可能是含参变量的某种代数式。解题时应在认准目标的前提下，从结构式的特点去分析，以寻找到合理、简捷的解题方法，切忌不分青红皂白地盲目运用三角公式。 例6.（06安徽卷）已知 （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值。 解：(Ⅰ)由得，即，又，所以为所求。 （Ⅱ）= ===。 例7.（06北京卷）已知函数， （Ⅰ）求的定义域； （Ⅱ）设是第四象限的角，且，求的值. 解：（1）依题意，有cosx(0，解得x(k(＋， 即的定义域为｛x|x(R，且x(k(＋，k(Z｝ （2）＝－2sinx＋2cosx(＝－2sin(＋2cos( 由是第四象限的角，且可得sin(＝－，cos(＝ (＝－2sin(＋2cos(＝ 4．三角形函数的最值问题 三角形函数的最值问题，是三角函数基础知识的综合应用，是和三角函数求值问题并重的重要题型，是高考必考内容之一。 例9．(06陕西卷)已知函数f(x)=sin(2x－)+2sin2(x－) (x∈R) (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期 ; (2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合. 解:(Ⅰ) f(x)=sin(2x－)+1－cos2(x－)