三角函数的图像习题精选精讲.doc

三角函数的图象变换 　　三角函数的图象变换是三角函数的图象的重要的组成部分.利用三角函数的图象变换不仅可方便的画出三角型函数的图象，而且还可以进一步研究函数的性质．下面举例说明几种常见的变换及应用． 一、正向变换 例1　由函数的图象经过怎样的变换，得到函数的图象． 分析：可以从“平移变换”和“伸缩变换”两种不同变换顺序的角度去考虑，于是得到两种解法（而本文只介绍一种解法，另一种解法请同学们参照评注自行探究）． 解： 评注：由函数的图象得到函数的图象的变换主要有两条途径： ①； ② “相位变换”中的平移量是个易错点，对于这个问题，关键在于x的变化顺序：途径①中由x到，变化了，应平移个单位；途径②中由到（即），变化了，应平移个单位．平移方向遵循“左加右减”的规律.本题还涉及到了对称变换，先对称后平移与先平移后对称得到的结果是否一致呢？同学们开动脑筋思考一下． 二、逆向变换 例2　已知函数，将的图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿着x轴向左平移个单位，这样得到的是的图象，求已知函数的解析式． 分析：对函数的图象作相反的变换，寻求应有的结论． 　　解：把的图象沿着x轴向右平移个单位，得到的解析式是；再使它的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩小到原来的倍，得到的解析式为．故所求函数解析式为． 评注：本题也可以设所求函数的解析式为，通过“正向变换”得到，因与是同一函数，进行相应系数的比较也可以得出结论. 三、综合应用 例3　已知函数，当时，的最大值为． （1）求的解析式； （2）由的图象是否可以经过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，请写出变换过程；若不能，请说明理由． 解：（1）由，得， ∴ ， ∴当时，，与矛盾，舍去；当时，由，，得，∴． （2）能．先将的图象向右平移个单位，再向上平移１个单位，即得到奇函数的图象． 图象变换问题 　　三角函数的图象变换是一个重点内容．解这类问题，先通过三角恒等变换将函数化为的形式，然后再探索其图象是由正弦曲线经过怎样的平移变换、伸缩变换或振幅变换得到的．特别需要注意的是：在图象变换中，无论是“先平移后伸缩”，还是“先伸缩后平移”，须记清每次变换均对“”而言． 例6　已知函数，．该函数的图象可由，的图象经过怎样的变换而得到？ 解：． 将函数依次作如下变换： （1）把函数的图象向左平移，得到函数的图象； （2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象； （3）把得到的图象上各点纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象； （4）把得到的函数图象向上平移个单位长度，得到函数的图象． 综上得到函数的图象． 点评：由的图象变换得到的图象，一般先作平移变换，后作伸缩变换，即．如果先作伸缩变换，后作平移变换，则左（右）平移时不是个单位，而是个单位，即是左（右）平移个单位长度． 解“三角函数图像与性质”问题的两个“切入点” 三角函数的图像与性质是高考必考内容之一，不管从什么 角度考察，不管考察哪一种性质问题，解决问题的切入点一般有两个：一是把所研究的函数解析式化为：“一角一”；二是画出函数在某一区间上的图像。举例说明如下： 例1、（2006年福建卷）已知函数 （I）求函数的最小正周期和单调增区间； （II）函数的图象可以由函数的图象经过怎样的变换得到？ 思路分析：先把函数的解析式化为的形势后，类比讨论。 解：（I）= 的最小正周期 由题意得、即　 的单调增区间为 （II）先把图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度，就得到的图象。 点评：求三角函数的值域、单调区间、周期、对称中心、对称轴，判断函数奇偶性等问题时，把函数的解析式化为：“一角一”的形式（如：）是解决此类问题的共同切入点。 易错点剖析：若把化为，由 求的增区间是错误的，处理方法：（1）把变为，或把变为= 后类比求。 例2、（2003辽宁卷理）已知函数是R上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数，求和的值. 思路分析：（1）是R上的偶函数， 应为， ，易求 （2）在区间上是单调函数，根据 图像， ，可求的范围。 解：由是偶函数，得依题设，所以解得. 由的图象关于点M对称，得…， …. .根据， ，得 所以，综合以上得. 点评：根据函数图像很容易找到条件(1)偶函数（2）且在区间上是单调函数应用的切入点，从而快速准确求出参数的值。 例3．已知函数 ，若函数有两个不同零点。 （1）求实数的取值范围；（2）求的值。 思路分析：把函数解析式化为“一角一”，然后利用五点法画出函数在区间上的图像，利用图像求解。 解： 列表 0 0 1 0 -1