54实对称矩阵的相似矩阵.ppt

第四节 实对称矩阵的相似矩阵 一、实对称矩阵特征值的性质 二、实对称矩阵的相似理论 三、 实对称矩阵对角化的方法 第四节 教学要求 1、掌握实对称矩阵特征值的性质 2、熟练掌握实对称矩阵对角化的方法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1　实对称矩阵的特征值为实数. 证明 一、实对称矩阵特征值的性质 　　说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 于是有 两式相减，得 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理1的意义 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明 于是 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 二、实对称矩阵的相似理论 定理4 任意实对称矩阵 都与对角矩阵相似。 它们的重数依次为 其中 证明： 设 的互不相等的特征值为 由定理3，对应于特征值 又由定理2及 知， 有 个线性无关的特征向量， 恰有 个线性无关的特征向量， 从而 与对角矩阵相似。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理5 设 为 阶实对称矩阵，则存在正交矩阵 使 ，其中 是以 的 个特征值为对角元素的对角矩阵。 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 　　根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 三. 实对称矩阵对角化的方法 其中对角矩阵 的主对角元的排列顺序与 中列向量的排列顺序相对应. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解 例1 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解之得基础解系 解之得基础解系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 解之得基础解系 第三步