2019版高考数学一轮总复习 第八章 立体几何 题组训练58 专题研究 球与几何体的切接问题 理.doc

题组训练58 专题研究 球与几何体的切接问题 1.已知正方体ABCD－A的棱长为1分别是棱B的中点．试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；(3)二面角C1－DB－B的正切值．答案　(1)60　(2)　(3)思路　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系则B(0，0，0)，A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E(0，，0)，F(，1，0)，D(1，1，1)．(1)因为＝(0－1)＝(，0)， 所以，＝＝即AD与EF所成的角为60(2)＝(－1)，由图可得＝(1)为平面BEB的一个法向量设AF与平面BEB所成的角为θsinθ＝|，|＝|＝所以＝(3)设平面DBB的法向量为n＝(x)， ＝(－11，0)，＝(0)， 由得令y＝1则n＝(－1)．同理可得平面C的一个法向量为n＝(－1)．则n1，n2＝＝所以n1，n2＝如图所示在三棱锥P－ABC中底面ABC＝AB＝60＝90点D分别在棱PB上且DE∥BC.(1)求证：BC⊥平面PAC；(2)当D为PB的中点时求AD与平面PAC所成的角的余弦值；(3)是否存在点E使得二面角A－DE－P为直二面角？并说明理由．答案　(1)略　(2)　(3)存在点E解析　方法一：(1)∵PA⊥底面ABC又∠BCA＝90平面PAC.(2)∵D为PB的中点＝又由(1)知平面PAC平面PAC垂足为点E.是AD与平面PAC所成的角．底面ABC又PA＝AB△ABP为等腰直角三角形．＝在中＝60＝中＝＝＝＝(3)∵DE∥BC， 又由(1)知平面PAC平面PAC.又∵AE平面PAC平面PACDE⊥PE. ∴∠AEP为二面角A－DE－P的平面角．底面ABC＝90在棱PC上存在一点E使得AE⊥PC.这时＝90故存在点E使得二面角A－DE－P是直二面角．方法二：如图所示以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz.设PA＝a由已知可得A(0)，B(－a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)．(1)∵＝(0)，＝()， ∴·＝0又∵∠BCA＝90又AP∩AC＝A平面PAC.(2)∵D为PB的中点为PC的中点．(－a，a)，E(0，a，a)．又由(1)知平面PAC平面PAC垂足为点E.是AD与平面PAC所成的角．＝(－a，a)，＝(0a，a)， ∴cos∠DAE＝＝(3)同方法一．(2018·辽宁沈阳一模)如图在三棱柱ABC－A中侧面AA底面ABC＝A＝AC＝AB＝BC＝2且O为AC的中点． (1)求证：A平面ABC；(2)求二面角A－A－C的余弦值．答案　(1)略　(2)－解析　(1)∵AA＝A且O为AC的中点又侧面AA底面ABC交线为AC且A平AA1C1C， ∴A1O⊥平面ABC.(2)如图连接OB以O为坐标原点所在直线分别为x轴轴轴建立空间直角坐标系． 由已知可得A(0－1)，A1(0，0，)，C1(0，2，)，B(，0，0)， ∴＝()，＝(－)＝(0)．设平面AA的法向量为m＝(x)．则有 取x1＝1则y＝－＝1＝(1－)，为平面AA的一个法向量．设平面A的法向量为n＝(x)， 则有 y2＝0令x＝1则z＝1＝(1)，为平面A的一个法向量〈m〉＝＝＝易知二面角A－A－C的平面角为钝角所求二面角的余弦值为－(2018·河北开滦二中月考)如图所示在四棱锥P－ABCD中平面ABCD底面ABCD是正方形＝AB＝2为PC中点．(1)求证：DE⊥平面PCB；(2)求点C到平面DEB的距离；(3)求二面角E－BD－P的余弦值．答案　(1)略　(2)　(3)解析　(1)证明：∵PD⊥平面ABCD又正方形ABCD中＝D平面PCD.平面PCD＝CD是PC的中点又∵PC∩BC＝C平面PCB.(2)如图①所示过点C作CM⊥BE于点M由(1)知平面DEB⊥平面PCB平面DEB∩平面PCB＝BE平面DEB.线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离．＝AB＝CD＝2＝90＝2＝＝2.∴BE＝＝＝(3)以点D为坐标原点分别以直线DA为x轴轴轴建立如图②所示的空间直角坐标系则D(0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，＝(2)，＝(0)．设平面BDE的法向量为n＝(x)， 则 令z＝1得y＝－1＝1.平面BDE的一个法向量为n＝(1－1)．又∵C(0)，A(2，0，0)，＝(－2)，且AC⊥平面PDB平面PDB的一个法向量为n＝(1－1)．设二面角E－BD－P的平面角为α则＝＝＝二面角E－BD－P的余弦值为(2018·太原二模)如图①在平面六边形ABFCDE中四边形ABCD是矩形且AB＝4＝2＝DE＝＝CF＝点M分别是AD的中点分别沿直线AD将△ADE翻折成ABCDEF. (1)利用下面的结论1或结论2证明：E四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面有且只有一个