数理经济学02-多元函数与静态分析..doc

多变量函数微分学与矩阵理论 变量 经济学中的实际问题，往往由许多因素组成。可分为两类： 1) 原因因素，数学上称作自变量，经济学上称作外生变量（不可控因素）； 2) 结果因素，数学上称作因变量，经济学上称作内生变量（可控因素，即模型的解）。 函数 我们主要研究内生变量与外生变量之间的关系，数学上用因变量与自变量之间的函数关系来描述。 单变量函数的微分学及应用 经济学中的边际概念定义为一个经济量x在原有值x0的基础上再增加一个单位而导致的另一个经济量f(x)的增量。 设y = f(x)是定义在集合S上的一元函数，导数在经济研究中称为边际。 利用导数进行经济分析，简称边际分析。 例如，需求量Qd = f (P)对价格P的导数称为需求对价格的边际需求量。 劳动的边际产量是指再雇用一个单位的劳动所增加的产量。假设生产函数为Q = F (L)，当前劳动为L0个单位，则劳动的边际产量为 例如，设有生产函数Q = F (L) = L1/2 / 2， L0 =100。计算知 F’ (L0) = F’ (100) = 0.025， F (101)-F (100) = 0.0249。 可见导数F? (100)是边际产量F (101)- F (100)的一个很好的近似值 Lagrangian中值定理 若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则至少存在一个(a，b)使下式成立 f (b)- f (a) =(b-a) Taylor中值定理 设(a，b)，f(x)在(a，b)内有直到n+1阶的导数，则当 (a，b)时，存在在x0与x之间，使得下式成立 其中，是的高阶无穷小。 单调性、凸凹性、极值 f(x)单调的充分条件 设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)上可导，则 (1) f(x)在[a，b]上严格单调增加的充分条件是在(a，b)上恒有f’(x) 0； (2) f(x)在[a，b]上严格单调减少的充分条件是在(a，b)上恒有f’(x) 0。 f ‘(x)单调的充分条件 若对任意x1，x2(a，b)， f(x2) (或)f(x1)+ f’ (x1) ( x2- x1)， 则f ‘(x)在(a，b)上单调增加（减少）。 凸凹性定义 （1）称函数f (x)在(a，b)上是凸的（或凹的），若对任意[0，1]，对任意x1，x2(a，b)，恒有下式成立 f (x1 + (1-) x2) (或) f (x1) + (1-) f (x2) （2）若上式中的严格不等式恒成立，则称函数f(x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数。 由定义易知，严格凸（或凹）函数一定是凸（或凹）函数。 凸凹性判断法 判定法之一（利用一阶导数） 设函数f (x)在(a，b)上可导，则f (x)在(a，b)上为凸（或凹）函数的充要条件是若对任意x1，x2(a，b)， f(x2) (或)f(x1)+ f’ (x1) ( x2- x1)， 当上面的严格不等式对任意x1，x2(a，b)且x1x2成立时，即为严格凸（或凹）函数的充要条件。 判定法之二（利用二阶导数） 若函数f(x)在(a，b)上是二阶连续可微的，则f (x)是(a，b)上的凸（或凹）函数的充要条件是对任意x(a，b)有 f ‘’(x)0 (或f’’(x)0)， 而f (x)是(a，b)上的严格凸（或凹）函数的充分条件是上面的严格不等式成立。 极值的必要条件 设函数f (x)在x0可导，且在x0取得极值，则 f ‘(x0) = 0 几何解释：曲线在函数取得极值的点x0处的切线是水平的。 极值的充分条件(I) （一阶充分条件）设f(x)在x0的一个领域内可导且f’(x0) = 0。 （1）若x取x0左侧邻近的值时，f’(x)的符号恒为正；当x取x0右侧邻近的值时，f’(x)的符号恒为负，则f(x)在x0处取得极大值; （2）若x取x0左侧邻近的值时，f’(x)的符号恒为负；当x取x0右侧邻近的值时，f’(x)的符号恒为正，则f(x)在x0处取得极小值。 （二阶充分条件）设f’(x0) = 0，f (x)在x0处具有二阶导数且f’’(x0)0。 （1）当f’’(x0) 0时，f (x)在x0处取得极大值； （2）当f’’(x0) 0时，f (x)在x0处取得极小值。 （N 阶充分条件）设f’(x0) = f’’(x0) =…= f(N-1)(x0) = 0，f (N )(x0) 0。 （1）当N为偶数且f (N )(x0) 0时，f (x)在x0处取得极大值； （2）当N为偶数且f (N )(x0) 0时，f (x)在x0处取得极小值； （3）当N为奇数时，(x0，f (x0)) 为拐点。 Weierstrass定理：闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值。 经济学应用 供求理论 需求向下倾斜规律