数理经济学_茹少峰_第4章课后题与答案.pdf

第四章 习题答案 1.求下列函数的极值。 2 2 2x 1 （ ） y x xy y 3ax 3by 2 （ ） y 1 2 x 3 ln x 3 （ ） 4 y x 1 y x 1 16 （ ） x 解： （1）根据二元函数极值的必要条件，可得 f x 2x y 3a 0 ， f y x 2y 3b 0 解得， (x, y ) (2 a b,2b a ) 为可能的极值点。 根据充分条件，函数 f (x, y) 的二阶导师组成的 Hessian 矩阵为 2 1 H (x) 1 2 H 3 0 ， 因 此 (2a b,2b a) 为 f (x, y) 的 严 格 极 小 值 点 ， 极 值 为 2 2 3a 5ab 3b 。 （2 ）根据一元函数极值的必要条件，可得 2 y 2 0 (1 2x) 因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。 （3 ）根据一元函数极值的必要条件，可得 2 y 3x 6x 3 0 求得极值点为 x 1。 由充分条件知 y 6x 6 。 当 x 1时 y 0 ，所以该函数极值不存在。 （4 ）根据一元函数极值的必要条件，可得 1 ln x y 2 0