平面向量数量积及运算律.doc
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5.6平面向量数量积及运算律
利用定义求向量的数量积
例1.已知,,当(l)(2),(3)与的夹角为时,分别求与的数量积。
分析:已知与,求,只需确定其夹角,须注意到时,有和两种可能。
解:(1),若与同向,则,
∴ ;
若与反向,则,
∴ ,
(2)当时,,
∴ ,
(3)当与的夹角为时,
.
小结:(1)对于数量积,其中 的取值范围是;
(2)非零向量和,;(3)非零向量和共线的充要条件是 .
向量性质描述的判断
例1.已知、、是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为( )
①;
②、反向
③;
④
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中∵,∴由及、为非零向量可得,∴或,∴且以上各步均可逆,故命题①是真命题.②中若、反向,则、的夹角为,∴且以上各步均可逆,故命题②是真命题.③中当时,将向量、的起点确定在同一点,则以向量、为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有.反过来,若,则以、为邻边的四边形为矩形,所以有,因此命题③是真命题.④中当但与的夹角和与的夹角不等时,就有,反过来由也推不出.故命题④是假命题.
答案:C
小结:(1)两向量同向时,夹角为0(或);而反向时,夹角为(或);两向量垂直时,夹角为.因此当两向量共线时,夹角为0或,反过来若两向量的夹角为0或,则两向量共线.
(2)对于命题④我们可以改进为:既不是的充分条件也不是必要条件.
利用向量垂直证明平面几何垂直问题
例1. 如图,已知中,是直角,,是的中点,是上的一点,且. 求证:.
分析:借助向量垂直的充要条件解题,即证明.
证明:设此等腰直角三角形的直角边长为,则
.
所以 .
小结:用向量方法证明几何问题时,一般应把已知和结论转化成向量的形式,再通过相应的向量运算完成证明,不难发现,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题,利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。
判断四边形形状
例1、平面四边形中,,,,,且,判断四边形的形状.
分析:在四边形中可知,,故,两边平方后,根据题设可得四边形边长的关系,由此从四边形的边长及内角的情况来确定四边形的形状.
证明:由四边形可知,(首尾相接)
,即
展开得
,
同理可得
(1)-(2)得,
,,即,,
故四边形是平行四边形.
由此,
又,即
即
故四边形是矩形
小结:利用向量数量积及有关知识,可以解决许多几何问题,特别是几何图形形状的判断,因为向量积与长度(模)和角有关.
如用向量证明等腰三角形底边上的中线垂直于底边.如图所示,为等腰三角形,为底边的中点.设,,,,
故,命题成立.
求向量夹角的余弦
例1.设,则与的夹角的余弦值为_____.
分析:要求夹角需先求出的值。
解:,.把代入得.由 ,得于是.
小结:本题涉及了平面向量的数量积的概念,性质以及有关运算律,体现了较强的综合性.
向量垂直
例1、已知向量为相互垂直的单位向量,设
,则
分析:本题考查向量运算,两向量垂直的充要条件.
解:由题设可知 ,
.
由,得
,
即 ,得.
小结:解决本题时,应注意.另外,解本题时,也可利用向量的坐标表示求解,即 ,再运用向量垂直的充要条件求出m的值.
向量垂直的证明
例1.已知非零向量和夹角为,且,求证: .
分析:欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零.
证明:因为和夹角为,所以;又因为,所以,即,,即.因为,把代入上式消去得.所以.
小结:这也是垂直的证明问题,但不是从平面几何的角度,而是直接从数量积的角度给出条件,再运用数量积的有关知识解决问题.
向量垂直时的参数值
例1.已知 ,当时,求实数的值.
分析:求一个实数的值,运用方程的思想,建立一个方程,通过解方程使问题得解.
解:,.,,即,※.把,代入※式,得
小结:通过向量垂直两向量的数量积为0,建立等式将向量问题转化为方程求解.
向量的夹角
例1、已知不共线向量,,,,且向量与垂直.
求:与的夹角的余弦值.
分析:由向量数量积定义知,所以需求之值.由已知得,从中可求得之值.
解:垂直,
根据向量数量积的运算律得
,,
,即为所求.
小结:非零向量是应用向量解决有关垂直问题很重要的手段,特别是根据向量数量积的定义,把研究形的问题,转化为数量问题,如已知,与夹角为,问当取何值时,与垂直,,由可求得.
向量数量积的运算
例1、已知向量为相互垂直的单位向量,,那么
分析:应先求出,再计算.
解:由已知
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