2.3连续型随机变量的分布密度.ppt.ppt

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例1 靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。 解 若x0，则{X≤x}是一个不可能事件，于是 若0≤x≤2，由题意得: 为确定k，取值x=2则有 若x2，则有 所以： §2.3 连续型随机变量的分布密度 易证，F(x)是一个连续函数，可表示为 其中 该例中随机变量X具有下列特点：一是X可在某个区间内连续取值，二是X的分布函数可用非负函数的积分来表示，具有这些特点的随机变量，即为本节要介绍的连续型随机变量。 §2.3 连续型随机变量的分布密度 例1 靶子是半径2米的圆盘，设击中靶上任一同心圆盘上的点与该圆盘的面积成正比，并设射击都能中靶，以X表示弹着点与圆心的距离，求X的分布函数。 §2.3 连续型随机变量的分布密度 一、定义 如果对于随机变量X的分布函数，存在可积函数，使对任意实数x，有 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数或密度。 二、性质 (1) f(x)≥0 1 x ? §2.3 连续型随机变量的分布密度 二、性质 (4) 在f(x)的连续点处有： (6) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 由性质(6)可得： (5) 连续型随机变量的分布函数F(x)不仅右连续，而且是连续函数。 对于连续型随机变量，还要指出两点： （1）F(x)是连续函数; （2）P{X=a}=0（a为任意实数）. 证 （2）取 ?x 0 ，因为 又F(x)是连续函数，所以 故 P{X = a} = 0 因此，对于连续型随机变量，有 例2 设随机变量的概率密度函数为 ?(x)=Ae-|x|（ -?x+? ） 试求: (1) 常数A ；(2) P{0X2}；(3) 分布函数F(x). 解 (1) 由 得： 故：A = 0.5； (2) (3) 当x0时， 当x≥0时, 即X的分布函数为 1 、均匀分布 如果随机变量X的概率密度为 分布函数为： 则称X在区间[a,b]上服从均匀分布。记为 X～U[a,b] 可知X落在[a,b]内任一小区间[c,d]内的概率与该小区间的长度成正比，而与该小区间的位置无关． 三 、常见的连续型随机变量的分布 例3 某公共汽车站每隔5 min有一辆车通过，可将车站上候车的乘客全部运走. 设乘客在两趟车之间的任何时刻到站都是等可能的，求乘客候车时间不超过3 min的概率. 解 这是一个几何概型. 设乘客到达汽车站的时刻为X，他到站后的第一辆公共汽车到站时刻为t0 ，则前一辆车离去的时刻为t0-5 . 据题意，X服从 [t0-5, t0]上的均匀分布，其密度函数为 均匀分布在实际中经常用到，比如一个半径为r的汽车轮胎，当司机刹车时，轮胎接触地面的点与地面摩擦会有一定的磨损. 轮胎的圆周长为2?r，则刹车时与地面接触的点的位置X应服从[0, 2?r]上的均匀分布，即 X～Ｕ[0, 2?r] ，即在 [0, 2?r] 上任一等长的小区间上发生磨损的可能性是相同的，这只要看一看报废轮胎的整个圆周上磨损的程度几乎是相同的就可以明白均匀分布的含义了. 求乘客候车时间不超过3 min的概率，即求X落在区间内的概率 2. 指数分布 若随机变量X的密度函数为 其中λ＞0是常数，则称X服从参数为λ的指数分布。记作X~E(λ). 分布函数为 指数分布常用来作各种“寿命”分布的近似，如电子元件的寿命；动物的寿命；电话问题中的通话时间都常假定服从指数分布． 例4 假设某种热水器首次发生故障的时间X（单位：h）服从指数分布，求： （1）该热水器在100 h内需要维修的概率是多少？ （2）该热水器能正常使用600 h以上的概率是多少？ 解 X的密度函数为： （1） （2） 1. 定义 若X的概率密度为 分布函数为： F(x) x 其中μ,σ(σ0)为常数，则称X服从参数为μ,σ2的正态分布或高斯（Gauss）分布。记作 X～ N（μ,σ2） 3. 正态分布 （1）曲线关于x =μ对称。即对于任意的h 0有 P{μ-h＜X ≤μ} = P{μ＜X≤μ+h} 显然， x离μ越远，f(x)的值越小。即对于同样长度的区间，X 落在离μ越远的区间，概率越小。 （2）当 x =μ时，函数f