复变函数积分的计算方法.doc

复积分的计算方法 摘 要 关键词 引言 1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程．而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们．因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”．到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”．复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学．当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一．为复变函数论的创建做了最早期工作的是欧拉、达朗贝尔，法国的拉普拉斯也随后研究过复变函数的积分，他们都是创建这门学科的先驱．后来为这门学科的发展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德国数学家维尔斯特拉斯．二十世纪初，复变函数论又有了很大的进展，维尔斯特拉斯的学生，瑞典数学家列夫勒、法国数学家彭加勒、阿达玛等都作了大量的研究工作，开拓了复变函数论更广阔的研究领域，为这门学科的发展做出了贡献．复变函数论在应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的．比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的．比如俄国的茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题，他在运用复变函数论解决流体力学和航空力学方面的问题上也做出了贡献．复变函数论不但在其他学科得到了广泛的应用，而且在数学领域的许多分支也都应用了它的理论．它已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响．从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了．它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分．它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程．现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用．通过对复变函数发展历史的研究，可以更加深入的理解复变函数的内容以及基本理论，了解复变函数在生活中的具体应用以及未来的发展前景从而更熟练地掌握复变函数的理论基础以及实际运用． 很多文献对复变函数的积分的计算问题进行了讨论，参考文献[1]讨论了计算复积分的七种常规计算方法，如利用定义直接计算复积分，利用柯西积分定理以及柯西积分公式求复积分，用解析函数的高阶导数公式等，参考文献[2]着重介绍了运用留数定理和辐角定理求解复积分的方法，参考文献[3]则主要介绍了通过变量变换、柯西积分公式、柯西积分定理及留数定理求解的方法，也揭示了诸多方法的内在联系，参考文献[4]探析了沿封闭曲线的复积分计算方法，参考文献[5]则介绍了沿不封闭曲线的复积分的计算方法．由于解析函数的特性，形成了丰富的复积分理论知识和多种求解方法，以上几个文献都只以有限的篇幅介绍了几种比较一般的方法，参考文献[8]重点介绍了利用级数法、拉普拉斯变换法及对数留数与辐角原理进行复积分计算的方法，对常用复积分计算方法进行了补充，具有一定的技巧性和简捷之处． 从复变函数的发展史以及上述文献可以看出复变函数的重要性，尤其是解决一些实际问题，与空气动力学、流体力学、弹性力学、电磁学和热力学等学科有关的一些重要实际问题，更体现了复变函数中复积分的重要性．解析函数的许多重要性质不用复积分也很难证明的．因此，了解复变函数积分，以及能灵活运用复积分计算方法进行复积分计算就显得极其重要．本文对不同类型的复变函数的积分的计算方法进行了系统的总结和归纳，并总结出求解复积分的一些技巧，这样，遇到一个复积分，我们可以先分析积分的特点，由此特点来选择合适的方法，方法得当，可以使一些复杂的复积分计算变得简单、快捷，因此该课题具有一定的应用价值． 1．复变函数积分的常规计算方法 1.1利用定义来直接计算复积分 复积分的定义 设函数定义在区域内，为在内起点为终点为的一条光滑的有向曲线．把曲线任意分成个弧段，设分点为 ， 在弧段到上任取一点，并作和式 ，记 弧段到的长度，当时，不论对的分法即的取法如何，有唯一极限，则称该极限值为函数沿曲线的积分，为 ． （11） 例11 计算积分 1)2)，其中积分路径表示连接点及点的任一曲线． 解 对进行分割，并近似求和，以下符号与上述复积分的定义一致． （1）当为闭曲线时，．因为，，所以 ， 即 ． （2）当为闭曲线时，，沿连续，则积分存在，设，则 ， 又可设，则 ， 因为的极限存在，且应与及极