复变函数§. 留数在定积分计算上的应用.ppt

* 留数定理是复变函数的定理，若要在实变函数定积分中应用，必须将实变函数变为复变函数。这就要利用解析延拓的概念。留数定理又是应用到回路积分的，要应用到定积分，就必须将定积分变为回路积分中的一部分。 §3 留数在定积分计算上的应用 如图，对于实积分 ，变量 x 定义在闭区间 [a,b] (线段 )，此区间应是回路 的一部分。实积分 要变为回路积分，则实函数必须解析延拓到复平面上包含回路的一个区域中,而实积分 成为回路积分的一部分： 1. 形如 的积分, 其中R(cosq,sinq )为 cosq与sinq 的有理函数. 令 z = eiq , 则 dz = ieiq dq , 而 其中f (z)是z的有理函数, 且在单位圆周|z|=1上分母不为零, 根据留数定理有 其中zk (k=1,2,...,n)为单位圆 |z|=1内的 f (z)的孤立奇点. 例1 计算 的值. [解] 由于0p1, 被积函数的分母在0?q ? 2p内不为零, 因 而积分是有意义的. 由于cos2q = (e2iq + e-2iq ) /2= (z2 + z-2) /2, 因此 在被积函数的三个极点z=0, p, 1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二级极点, z=p为一级极点. 例2 计算 的值. 解：令 例 3 解： 取积分路线如图所示, 其中CR是以原点为中心, R为半径的在上半平面的半圆周. 取R适当大, 使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内. z1 z2 z3 y CR -R R O x 不失一般性, 设 为一已约分式. 此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变. 例 4 例 5 解： 3. 形如 的积分 当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次, 且R(x)在实数轴上没有奇点时, 积分是存在的. 象2中处理的一样, 由于m-n?1, 故对充分大的|z|有 因此, 在半径R充分大的CR上, 有 z1 z2 z3 y CR -R R O x y q O p y=sinq 1 也可写为 例6 计算 的值. [解] 这里m=2,n=1,m-n=1.R(z)在实轴上无孤立奇点,因而所求的积分是存在的. 在上半平面内有一级极点ai, 例4 计算积分 的值. [解] 因为 是偶函数, 所以 *