三角函数基本概念.doc

三角函数基本 知识点一：任意角的概念　　角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.　　要点诠释：　　(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；　　(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；　　(3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 知识点二：弧度制，或1弧度，或1(单位可以省略不写).　　(2)弧度与角度互换公式： 　　　 1rad=≈57.30°=57°18′，1°=≈0.01745(rad)　　(3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，　　　 扇形面积公式：.知识点三：任意角的三角函数是一个任意角,它的终边与单位圆交于点,那么:　　(1)叫做的正弦,记做,即；　　(2)叫做的余弦,记做,即；　　(3)叫做的正切,记做,即.　　三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点在终边上的位置无关，只是在单位圆上时，这个比值恰好为的横坐标或纵坐标.2.三角函数线　　圆心在原点，半径等于1的圆为单位圆．设角的顶点在圆心O，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于P，过P作PM垂直轴于M，作PN垂直轴于点N.以A为原点建立轴与轴同向，与的终边(或其反向延长线)相交于点(或)，则有向线段0M、0N、AT(或)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大小又有方向的线段.　　要点诠释：　　三条有向线段的位置：　　正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段；　　余弦线在轴上；　　正切线在过单位圆与轴的正方向的交点的切线上；　　三条有向线段中两条在单位圆内，一条在单位圆外. 三、规律方法指导1.象限角问题 角的集合 x轴正半轴 y轴正半轴 x轴负半轴 y轴负半轴 x轴 y轴 坐标轴 是第一象限角，所以　　是第二象限角，所以　　是第三象限角，所以　　是第四象限角，所以2.角度制与弧度制进行角度制与弧度制的互化；　　(2)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：3.三角函数定义及其应用在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.、　　　 我们只需计算点到原点的距离,　　　 那么,,　　(2)三角函数在各象限的符号：(一全二正弦，三切四余弦)　　　　　　　　　　　　　类型一：象限角； 　　(1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；　　(2)集合，,那么两集合的关系是什么？　　解析：(1)所有与角有相同终边的角可表示为：，　　　　　　 则令 得 　　　　　　 解得 ，从而或 代回或.　　　　　(2)因为表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合;而集合表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的合，从而：.　　总结升华：(1)从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角有相同终边的角，然后列出一个关于的不等式，找出相应的整数，代回求出所求解；(2)可对整数的奇、偶数情况展开讨论. 2．已知“是第三象限角，则是第几象限角?]　　思路点拨：已知角的范围或所在的象限，求所在的象限是常考题之一，一般解法有直接法和几何法，其中几何法具体操作如下：把各象限均分n等份，再从x轴的正向的上方起，依次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则原来是第几象限的符号所表示的区域即为 (n∈N*)的终边所在的区域.　　解法一：因为是第三象限角，所以，　　　　　　∴，　　　　　　∴当k=3m(m∈Z)时，为第一象限角,当k=3m＋1(m∈Z)时，为第三象限角，　　　　　　当k=3m＋2(m∈Z)时，为第四象限角，故为第一、三、四象限角.　　解法二：把各象限均分3等份，再从x轴的正向的上方起依 　　　　　　次将各区域标上I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，　　　　　　则原来是第Ⅲ象限的符号所表示的区域即为的终边　　　　　　所在的区域.　　　　　　由图可知，是第一、三、四象限角.　　　　【变式1】集合，，则( )　　A、 　　　B、 　　　C、 　　　D、　　【答案】C 　　思路点拨：( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4　　　　　　　 (法二)在平面直角坐标系中，数形结合　　　　　　　 (法三)集合M变形，　　　　　　　　　　 集合N变形，　　　　　　　　　　 是的奇数倍，是的整数倍，因此.　　【变式2】设为第三象限角，试判断的符号.　　解析：为第三象限角，　　　　　　　　　　当时，此时在第二象限.　　　　　　　　　　当时，此时在第四象限.　　　　　　综上可知：类型二：扇形的弧长、面积与圆心角问题，因为扇形的弧长是，所以扇形的周长是　　　　依题意，得　　　　　　　　≈≈