三角函数的基本概念113－5正余弦函数之叠合甲正.DOC

1? PAGE 1 第二章 三角函數的基本概念 1? PAGE 8 §3－5 正、餘弦函數之疊合 甲 .正、餘弦函數的疊合 正弦與餘弦函數的疊合： 設 a 和 b 為實數, 且 a 2 + b 2 0, 則 y = a sin x + b cos x =sin (x +), 其中 cos=, sin=. y = a sin x + b cos x =cos (x ?), 其中 sin=, cos=. y = sin x + b sin x的圖形： y = f ( x ) = a sin x + b cos x, f ( x )之值可由 y= f( x ) = a sin x 與 y= f( x ) = b cos x之函數對應相加. Notes: y = a sin x + b cos x =sin (x +)的圖形可以看成： 先將 y = a sin x + b cos x 的圖形沿著x軸平移 || 單位後, 再上下伸縮倍而得到的圖形. 週期 p = 2. 最大值為, 最小值為 ?. 例1. (1) 將 y =sin x ? cos x化為 y = a sin ( x ? b ) 的形式, 其中 a 0, 0 b 2, 試求出a與b之值. a = 2, b = (2) 試畫出 y =sin x ? cos x, 0的圖形, 並寫出波峰、波谷的坐標. (, 2 ) (, ?2 ) 類題. (1) 試將下列各函數表示成 y = r sin ()之形式, 其中 r 0, 求出第幾象限角 以及sin與cos之值, 並畫出其圖形. (a) y = sin x + cos x (b) y = ?3 sin x + cos x 例2. (1) 若cos x + sin x = r sin ( x +), 其中 r 0, 0 , 則 ( r, ) = . ( 2, ) (2) 若cos x + sin x = r cos ( x ?), 其中 r 0, 0 , 則 ( r, ) = . ( 2, ) 類題. 試將下列各題變形為 r sin ( x +)： (1) sin x +cos x (2) 3 sin x + 4 cos x (3) sin x ? cos x 2 sin ( x +), 5 sin ( x +), 其中cos=, sin=, sin ( x ?) 例 3. 設 y = f ( x ) = sin () + cos 2 x, 且 a0, 0, 則： y = a sin ( 2x + b ), 則 a, b 的值分別為何? (2) 函數 y = f ( x ) 的週期. 類題. 試將 2 sin x ( x + 30) ? 3 cos x 化為餘弦函數. , 其中 例 4. = . 4 類題. (1) csc 10?sec 10= . 4 = . 4 乙 . 極大值與極小值 1. 偶數降次型： sin 2n + cos 2n 利用 sin 2+ cos 2 = 1.  2. 值域型： 3. 配方法： 可化為同函數時使用. a sin 2+ b sin+ c = a ( sin+) 2 + ( 注意值域 ) 4. 利用輔助角： a, b, c f ( x ) = a cos + b sin + c = + c, 其中 sin, cos. Notes: (i) 角度須一致. (ii) 次方須為一次. (iii) 又必為互餘的弦函數. 5. 利用倍角配合輔助角： a sin 2+ b cossin+ c cos 2 = a?+ b?+ c? 對稱型 ( 代換 )： sin x + cos x = t, sin x cos x =代入式中 ( -) 利用和差化積與積化和差： 有一式子是它們角度和( 或差 )為定值時使用. ( 注意是否有界 ) 分式型： x 二次方程式利用判別式. 例5. 試求下列各函數的極大值與極小值： (1) f ( x ) =cos x ? sin x + 1