三角函数与向量的基本概念及综合应用.doc

向量的基本概念： 向量、平行向量（共线向量）、零向量、单位向量、相等向量： 向量的表示：、、区别于||、|| 向量的加法、减法：平行四边形法则和三角形法则 例题1、一艘船从A点出发以2km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速为2km/h；求船实际航行的速度大小和方向。（答案：4km/h，方向与水流方向成60°角） ★【※题2】①设O为平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足=+((+),(∈[0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的( D ) A 外心 B 垂心 C 内心 D 重心 ②将上题中的条件改为=+((+)则应选( C ) 例题3：（1）、①+；②+-；③++；④（-）+（-）其中结果为0的有①③④ （ 2）、在平行四边形ABCD中，=,DB=,则有:=-,=+- 实数与向量的积、平面向量基本定理、平面向量的坐标表示： 注意点的坐标和向量的坐标的差别：②向量的平等行和垂直坐标公式： 5、向量的数量积的概念，以及向量平行、垂直、长度、夹角： ★例1、已知平行四边形OADB中，=,=,AB与OD相交于点C，且|BM|=|BC|，|CN|=|CD|，用、表示、、和。 ★ 例2、求证；G为△ABC的重心的充要条件是：++=0 ★例3、已知AD、BE分别是△ABC的边BC、AC上的中线，=,=，则=____ ★ 例4、①已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若M,N,,P三点共线，O为坐标原点，且=a31+a2(直线MP不过点O），则S32等于多少？ ②（2006年江西高考）已知等差数列｛an｝的前n项之和为Sn,若=a1+a200,且=A,B,C三点共线（该直线不过点O），则S200等于（ ） A 100 B 101 C 200 D 201 ★例5、①若的起点和终点坐标分别为（1，3），（4，7），则||=_____ 已知=(1,2),=(x,1),且+2与2-平行，则x之值为____ 已知=(3,4),⊥,且的起点坐标为(1,2)，终点坐标为 (x,3x)，则等于_____ 已知点M（3，-2），N（-5，-1），且=，则点P的坐标是____（答案：（-1，） 巩固练习：（一）平面向量的坐标运算规律：①设=(x1,y1),=(x2,y2),则+=_________；-=__________,(=______；②||==；又·=||·||·cos,=x1x2+y1y2则cos,==; ③若∥?x1y2-x2y1=0; 若⊥?x1x2+y1y2=0， ★例1、 ① 已知=(3,5) =(2,3),=(1,-2),求（·)· （②已知=(3,-1),=(-1,2),则-3-2的坐标为_____(答案:(-7,-1)) ③已知||=4,||=3,(2-3)·(2+)=61,求与的夹角.(为120°) ④已知||=2,||=9, ·=-54,求与的夹角.(为135°) 例2、①已知=(1,2),=(x,1)且+2与2-平行，则x=_____(答案:) ②已知||=2,||=1, 与的夹角为,求向量2+3与3-的夹角的余弦值.(答案:)；③已知向量=(cos(,sin(),=(cos(,sin(),且≠±,则+与-的夹角大小是____(90°) ④已知向量与的夹角为120°,且||=3,|+|=,则||=_____ ★例3已知=(1,2),=(-3,2),当k为何值时,①k+与-3垂直?②k+与-3平行,平行时它们是同向还是反向?（解:①k=19; ②k=-1/3,反向.） ★例4:①若向量+3垂直于向量7-5,且向量-4垂直于向量7-2,求向量与的夹角大小.(答案:60°) ②已知向量=(2,7),=(x,-3),当与的夹角为钝角时，求出x的取值范围；若与的夹角为锐角时，问x的取值范围又为多少？（答案：为钝角时x,x≠; 为锐角时x) ★例5、已知=(cos,sin),=(sin,cos),x∈[0,]，①求·；②求|+|，③设函数(（x)=·+|+|，求出((x）·=sin2x; |+|=(sinx+cosx), ((x），最小值2 例6、已知向量a=(sin(,1),b=(1,cos(),-(,①若a⊥b,求出(之值，②求出|a+b|的最大值。（答案：(=-，|a+b|的最大值+1） ★例7、①已知向量=(cos(,sin(),向量=(,-1)，求|2-|的最大值。（答案为4） ②已知向量=(3,1),向量=(x,-3),且⊥，求出x之值。（答案为1） ③已知||=3,||=2,且与的夹角为60°，当