市府三角函数与平面向量的综合应用.doc

　三角函数与平面向量的综合应用 1． 三角恒等变换 (1)公式：同角三角函数基本关系式、诱导公式、和差公式． (2)公式应用：注意公式的正用、逆用、变形使用的技巧，观察三角函数式中角之间的联系，式子之间以及式子和公式间的联系． (3)注意公式应用的条件、三角函数的符号、角的范围． 2． 三角函数的性质 (1)研究三角函数的性质，一般要化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，其特征：一角、一次、一函数． (2)在讨论y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质时，要重视两种思想的应用：整体思想和数形结合思想，一般地，可设t＝ωx＋φ，y＝Asin t，通过研究这两个函数的图象、性质达到目的． 3． 解三角形 解三角形问题主要有两种题型：一是与三角函数结合起来考查，通过三角变换化简，然后运用正、余弦定理求值；二是与平面向量结合(主要是数量积)，判断三角形形状或结合正、余弦定理求值．试题一般为中档题，客观题、解答题均有可能出现． 4． 平面向量 平面向量的线性运算，为证明两线平行提供了重要方法．平面向量数量积的运算解决了两向量的夹角、垂直等问题．特别是平面向量的坐标运算与三角函数的有机结合，体现了向量应用的广泛性． 1． 已知角α终边上一点P(－4,3)，则eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin?－π－α?,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的值为________． 答案　－eq \f(3,4) 解析　eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin?－π－α?,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin?\f(9π,2)＋α?)＝eq \f(－sin α·sin α,－sin α·cos α)＝tan α. 根据三角函数的定义得tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4). 所以eq \f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))sin?－π－α?,cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α))sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))＝－eq \f(3,4). 2． 已知f(x)＝sin(x＋θ)＋eq \r(3)cos(x＋θ)的一条对称轴为y轴，且θ∈(0，π)，则θ＝________. 答案　eq \f(π,6) 解析　f(x)＝sin(x＋θ)＋eq \r(3)cos(x＋θ) ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋θ＋\f(π,3)))，由θ＋eq \f(π,3)＝kπ＋eq \f(π,2) (k∈Z)及θ∈(0，π)，可得θ＝eq \f(π,6). 3. 如图所示的是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0，|φ|∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))))图象 的一部分，则f(x)的解析式为____________． 答案　f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,6)))＋1 解析　由于最大值和最小值之差等于4，故A＝2，B＝1. 由于2＝2sin φ＋1，且|φ|∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，得φ＝eq \f(π,6). 由图象知ω(－π)＋φ＝2kπ－eq \f(π,2) (k∈Z)， 得ω＝－2k＋eq \f(2,3)(k∈Z)．又eq \f(2π,ω)2π， ∴0ω1.∴ω＝eq \f(2,3). ∴函数f(x)的解析式是f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)x＋\f(π,6)))＋1. 4． (2012·四川改编)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1， 连接EC、ED，则sin∠CED＝________. 答案　eq \f(\r(10),10) 解析　方法一　应用两角差的正弦公式求解． 由题意知，在Rt△ADE中，∠AED＝45°， 在Rt△BCE中，BE＝2，BC＝1， ∴CE＝eq \r(5)，则sin∠CEB＝eq \f(1,\r(5))，