简明微积分教学课件作者第三版李亚杰课件教案-0403定积分的概念与性质课件.ppt

第三节 定积分的概念与性质 一、引入定积分概念的实例 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 * * 　 一、引入定积分概念的实例 引例1 曲边梯形的面积 曲边梯形 设函数f(x)在区间[a,b](ab)上非负且连续，由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴围成的图形称为曲边梯形，其中曲线弧y=f(x)称为曲边，线段ab称为底边. 问题 求由x=a, x=b, y=0与y=f(x) 所围成的曲边梯形的面积. y= f (x) a b x M N o y 求曲边梯形的面积A的具体做法： (1)分割 在(a,b)内插入n–1个分点 过每个分点xi(i=1,2,…,n)作y轴的平行线，将曲 边梯形分割成n个小曲边梯形. 记每一个小区间 的长度为 把区间[a,b]分成n个小区间 我们同样可以用这种“分割，近似、求和，取极限”的方法解决变速直线运动的路程的问题. 以上两问题虽然不同，但解决问题的方法却相同，即归结为求同一结构的总和的极限.由此引入定积分的概念. 　 二、定积分的概念 定义 定积分(简称积分) 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间. 根据定积分的定义，前面所讨论的两个引例就可 以用定积分概念来描述： 曲线 、x轴及两条直线x=a,x=b所围成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即 质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b]上的定积分，即 定积分的存在定理 如果函数f(x)在区间[a,b]上的定积分存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积. 关于定积分的概念，还应注意两点: (1)定积分 是积分和式的极限，是一个数值，定积分值只与被积函数f(x)及积分区间[a,b]有关，而与积分变量的记法无关.即有 (2)在定积分 的定义中，总假设 ，为了 今后的使用方便，对于 时作如下规定： 　 三、定积分的几何意义 如果在[a,b]上 ，则 在几何上表示由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积. 如果在[a,b]上 ，此时由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则定积分 在几何上表示上述曲边梯形的面积A的相反数. 如果在[a,b]上f(x)既可取正值又可取负值，则定积分 在几何上表示介于曲线y=f(x)，直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和. 性质1 设函数f(x)，g(x)在[a,b]上可积 两个函数代数和的定积分等于它们定 积分的代数和，即 性质2 被积函数的常数因子可以提到积分号外，即 　 四、定积分的性质 如果积分区间[a,b]被分点c分成区间[a,c]和[c,b]，则 性质3 性质3表明定积分对积分区间具有可加性，这个 性质可以用于求分段函数的定积分. 当c在区间[a,b] 之外时，上面表达式也成立. 利用定积分的几何意义，可分别求出 例1 解 性质4 性质5 特别的, * *