2014年高三数学一轮复习专家讲坛由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的3类探索性问题课件新人教A版.ppt

由递推公式求通项的7种方法及破解数列中的3类探索性问题 ; [例3]　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an. [解]　设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3. 故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．;;; 5、　an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型 这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列． [例5]　设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an. ; 6、an＋1＝pa(p0，an0)型 这种类型一般是等式两边取对数后转化为an＋1＝pan＋q型数列，再利用待定系数法求解．; 二、破解数列中的3类探索性问题 1．条件探索性问题 此类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探求，或条件增删需确定，或条件正误需判定，解决此类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．; [例1]　已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋2＋Sn＝2Sn＋1＋1(n∈N*)；数列{bn}中，b1＝a1，bn＋1＝4bn＋6(n∈N*)． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝bn＋2＋(－1)n－1λ·2an(λ为非零整数，n∈N*)，试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn＋1cn成立． [思路点拨]　处理第(2)问中的cn＋1cn恒成立问题，可通过构造函数将问题转化为函数的最值问题，再来研究所构造的函数的最值．; [解]　(1)由已知得Sn＋2－Sn＋1－(Sn＋1－Sn)＝1， 所以an＋2－an＋1＝1(n≥1)． 又a2－a1＝1， 所以数列{an}是以a1＝2为首项，1为公差的等差数列． 所以an＝n＋1. 因为bn＋1＝4bn＋6，即bn＋1＋2＝4(bn＋2)，又b1＋2＝a1＋2＝4， 所以数列{b2＋2}是以4为公比，4为首项的等比数列． 所以bn＝4n－2.; (2)因为an＝n＋1，bn＝4n－2， 所以cn＝4n＋(－1)n－1λ·2n＋1.要使cn＋1cn成立， 需cn＋1－cn＝4n＋1－4n＋(－1)nλ·2n＋2－(－1)n－1λ·2n＋10恒成立， 化简得3·4n－3λ(－1)n－12n＋10恒成立， 即(－1)n－1λ2n－1恒成立， ①当n为奇数时，即λ2n－1恒成立，当且仅当n＝1时，2n－1有最小值1，所以λ1； ②当n为偶数时，即λ－2n－1恒成立，当且仅当n＝2时，－2n－1有最大值－2，所以λ－2，即－2λ1. 又λ为非零整数，则λ＝－1. 综上所述，存在λ＝－1，使得对任意n∈N*，都有cn＋1cn成立．; [点评]　对于数列问题，一般要先求出数列的通项，不是等差数列和等比数列的要转化为等差数列或等比数列．遇到Sn要注意利用Sn与an的关系将其转化为an，再研究其具体性质．遇到(－1)n型的问题要注意分n为奇数与偶数两种情况进行讨论，本题易忘掉对n的奇偶性的讨论而致误． 2．结论探索性问题 此类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决此类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论，在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．; [思路点拨]　处理第(2)问中的是否存在问题，可先假设存在正整数m，n，把m，n转化为一个变量求出这个变量的范围，根据正整数求其值，若在所求范围内能够得到适合题目的值，则存在，否则就不存在．第(3)问中Tn与9的大小比较可以通过构造函数，根据函数的性质比较Tn与9的大小．`;[解]　(1)因为a＝2a＋anan＋1， 即(an＋an＋1)(2an－an＋1)＝0. 又an0