《管理运筹学》习题7解答.doc

《管理运筹学》习题7解答 1.某修理店只有一个修理工人，来修理的顾客到达次数服从泊松（普阿松）分布，平均每小时4人，修理时间服从负指数分布，平均需6min。求： （1）请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方程。 （2）修理店至少有一个顾客的概率。 （3）店内有3个顾客的概率。 （4）在店内顾客的平均数和平均逗留时间。若工人在修理店每逗留1小时平均丧失工作收入100元，修理服务费用正比于其服务率为每小时4元。假定顾客到达率不变，为使得店铺和顾客的总损耗费用最低，求该店的最优服务率和平均最低费用。 （5）平均等待修理（服务）时间。 （6）必须在店内消耗15min以上的概率。 （7）假设若店内已有3个顾客，那么后来的顾客即不再排队。这时排队系统的模型类型是什么？并求店内空闲的概率、在店内平均的顾客数、在店内平均逗留时间。 （8）若顾客平均到达率增加到每小时12人，仍为泊松流，平均修理时间不变。是否需要增加工人？求修理工为2人时店内有两个或更多顾客的概率。注：以上各问是无关联的。 解：λ=4人/小时，μ＝60/6=10人/小时，ρ＝λ/μ=0.4。 (1)此系统为M/M/1排队模型。 各状态间概率强度的转移图如下： 状态概率的稳定方程，如下： -4P0+10P1=0 4Pn-1+10Pn+1-14Pn=0(n≥1) (2)修理店至少有一个顾客的概率等于1-P0； ∵P0=1-ρ=1-0.4=0.6 ∴1-P0=1-0.6=0.4 (3)P3=ρ3(1-ρ)=0.43(1-0.4)=0.0384 (4) 店内顾客的平均数Ls=λ/(μ-λ)=4/(10-4)=2/3（人）； 一个顾客的平均逗留时间：Ws=Ls/λ=2/3÷4=1/6（小时）＝10（分钟）； 系统单位时间总耗费T(μ)=100Lsw+4μ=100·4/(μ-4)+4μ 令dT(μ)/dμ=-400/(μ-4)2+4=0解得μ*＝14(人/小时)； 此时，系统每小时平均总耗费最低，为T*(μ)=100·4/(14-4)+4×4=56（元/小时） (5)平均等待修理（服务）时间Wq=Ws-1/μ=1/6-1/10=1/15(小时)＝4（分钟） (6)15分钟即1/4小时。 P(Ws1/4)=1-P(Ws≤1/4)=1-F(Ws)=1-(1-e-(10-4) ·1/4)= e-(10-4)·1/4=0.2231 (7)这是排队系统是M/M/1/N模型。 店内空闲的概率为p0=(1-ρ)/(1-ρ3+1)=(1-0.4)/(1-0.44)=0.6158 店内平均顾客数为Ls=ρ/(1-ρ)-(3+1)ρ3+1/(1-ρ3+1)=0.4/(1-0.4)-(3+1)·0.43+1/(1-0.43+1)=0.5616(人)； Ws=Ls/λe= Ls/[μ(1-P0)]=0.5616/[10(1-0.6158)]=0.1462(小时) (8)此时ρ=λ/μ=12/10=1.2。队列将越来越长，故要增加工人。 增加一个工人后，系统变为M/M/2排队系统。 P1=λ/μ×P0=12/10×0.25=0.3 则P｛n≥2｝=1-P0-P1=1-0.25-0.3＝0.45 2(天津大学考研试题). 工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10min，假设对每一工件的服务（加工）所需时间服从负指数分布，平均服务时间为8min。试求： （1）请画出各状态间概率强度的转移图，并写出状态概率的稳定方程。求出工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间； （2）若要求有90％的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30min，则工件的平均服务时间最多是多少？ （3）若每一件工件的服务分成两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4min。一个工件完成两个阶段的加工后，紧接着的工件才能进入加工。在这种情况下，工件在系统内的平均数是多少？ 解：λ=60/10=6人/小时，μ＝60/8=7.5人/小时，ρ＝λ/μ=6/7.5=0.8 (1) 各状态间概率强度的转移图如下： 状态概率的稳定方程，如下： -6P0+7.5P1=0 6Pn-1+7.5Pn+1-13.5Pn=0(n≥1) 工件在系统内等待服务的平均数Lq=ρλ/(μ-λ)=0.8×6/(7.5-6)=3.2(件) 工件在系统内平均逗留时间Ws=1/(μ-λ)=1/(7.5-6)=2/3(小时)＝40（分钟） (2)30分钟即1/2小时。由F(Ws)=P(Ws≤1/2)= 1-e-(μ-6) ·1/2≥90%得到工件的平均服务时间最多是1/μ≤0.09429(小时)≈5.66（分钟）。 (3)每个工件的加工时间服从2阶爱尔朗分布，即本系统为M/E2/1类型。1/μ=4/60+4/60=2/15 ρ=λ/μ=