熊伟编《运筹学》习题十二详细解答.doc

习题十二 12.1 证明本章中的定理4 12.2求出下列得益矩阵中所表示的对策中的混合策略纳什均衡． L R L 2，1 0，2 R 1，2 3，0 【解】设局中人1分别以的概率选择L和R策略，局中人2分别以的概率选择L和R策略，用方程组方法，则可得到： 解出：， 。混合策略纳什均衡为：G=() 其中： 12.3 求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵A分别为 (1)， (2) ， (3) 【解】（1）有鞍点。最优解，VG=5 (2) 有鞍点。最优解，VG=2 (3) 有鞍点。最优解及，VG=5 12.4利用优超原则求解下列矩阵对策 （1）A= ， (2) 【解】（1） 由公式（12.19）～（12.23）得 ，； (2) 第2列与第3列的凸组合(如：0.5(4,1)+0.5(-4,6)(3,4))优超于第1列 最优解： 12.5用线性规划法求解矩阵对策 【解】局中人Ⅰ： 局中人Ⅱ： 模型Ⅱ的最优表： C(j) 1 1 1 0 0 0 b Basis C(i) Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y2 1 2.619 1 0 0.333 0 -0.0952 0.2381 Y5 0 -6.619 0 0 -1.33 1 1.0952 0.7619 Y3 1 -0.4286 0 1 0 0 0.1429 0.1429 C(j)-Z(j) -1.1905 0 0 -0.3333 0 -0.0476 0.381 线性规划的最优解：Y=(0，0.2381，0.1429)，X=(0.3333，0，0.0476)；w=0.381 作变换得到对策的解：X*=（0.8748，0，0.1251），Y*=(0，0.6249，0.3751)；VG=2.6247 12.6 若二人零和对策的赢得矩阵为 (1) A=; (2) A=; (3) A= 求混合策略纳什均衡． 【解】（1）列方程组。混合策略纳什均衡：X＝(0.5，0.5)，Y＝(0.25，0.75)；VG＝3.5 （2）用优超法。混合策略纳什均衡：X＝(0，0.5，0.5)，Y＝(0.25，0.75，0)；VG＝3.5 （3）原题有误，改为 列方程组： ， 求解得到混合策略纳什均衡： 12.7 求下列二人非零和非合作型对策的纳什均衡． （1）； （2） 【解】(1)划线法：有纯策略纳什均衡，双方都取策略2。 (2)划线法失效。用方程组方法。 得到混合策略纳什均衡 12.8 某空调生产厂家要决定夏季空调产量问题．已知在正常的夏季气温条件下该空调可卖出12万台，在较热与降雨量较大的条件下市场需求为15万台和10万台．假定该空调价格虽天气程度有所变化，在雨量较大、正常、较热的气候条件下空调价格分别为1300元、1400元和1500元，已知每台空调成本为1100元．如果夏季没有售完每台空调损失300元。在没有关于气温准确预报的条件下，生产多少空调能使该厂家收益最大？ 【解】原题有误，1400元和300元改为1400元和1500元。 将生产厂家看作是局中人1，策略有生产10、12和15万台3种，夏季气候看作局中人2，策略是需要量为10、12和15万台3种。在雨量较大、正常、较热的气候条件下每台空调利润分别是200、300和400元。3种策略与3种气候状态对应的利润表如下。 　 10 12 15 10 2000 3000 4000 12 1400 3600 4800 15 500 2700 6000 有鞍点，应生产10万台。 12.9 设古诺模型的双寡头竞争中，厂家一和厂家二的决策产量分别为q1和q2，市场出清价格为市场总产量的函数P=P(Q)=12-Q,假如两厂家单位产量的边际成本分别为C1=3和C2=2．试用反应函数法求解该对策中的纳什均衡． 【解】 得到纳什均衡： 12.10 已知一个地区选民的观点标准分布于上，竞选一个公职的每个候选人同时宣布他们的竞选立场，即选择0-1之间的一个点，选民将根据观察候选人的立场，然后将选票投给立场与自己观点最接近的候选人．假设有两个候选人，宣布的立场分别为x1=0.4和x2=0.8，那么观点在0.6左边的人都会投候选人一的票，反之就投候选人二的票，候选人一将以60%的选票获胜．如果候选人立场相同则用跑硬币的方式决定谁当选．假设候选人关心的只是能否当选，若有两个候选人竞争，试用对策论相关知识分析其纳什均衡． 【解】设x1和x2分别为候选人1、2宣布的观点，候选人1的得票为 候选人1的得票为 TOP