【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第1课时归纳推理同步检测 北师大版选修1-2.doc

【成才之路】2014-2015学年高中数学 3.1 第1课时归纳推理同步检测 北师大版选修1-2 一、选择题 1．观察下列数列的特点：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，则第100项是(　　) A．10 B．13 C．14 D．100 [答案]　C [解析]　＝91，从第92项到第105项都是14，故选C. 2．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内适合的图形为(　　) □ ● ▲ ▲ ■ ○ ● A.■ B． C．□ D．○ [答案]　A [解析]　图形涉及三种符号□、○、，其中符号○与各有3个，且各自有二黑一白，所以□缺一个黑色符号，即应画上■才合适． 3．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示： 按照上面的规律，第n个“金鱼”图形需要火柴棒的根数为(　　) A．6n－2 B．8n－2 C．6n＋2 D．8n＋2 [答案]　C [解析]　归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，通项公式为an＝6n＋2. 4．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，猜想an等于(　　) A. B． C. D． [答案]　B [解析]　由a1＝1，Sn＝n2an，得a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝，故应选B. 5．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是(　　) A．白色 B．黑色 C．白色的可能性大 D．黑色的可能性大 [答案]　A [解析]　由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色． 6．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐在第1,2,3,4号座位上(如图所示)，如果第1次前后排动物互换座位，第2次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2 013次互换座位后，小兔坐在第(　　)号座位上．(　　) 开始　　　第1次　　　 第2次　　　 第3次 A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　A [解析]　由题意得第4次互换座位后，四个小动物回到了原位，即每经过4次互换座位后，小动物回到原位，所以第2 013次互换座位后的结果与第1次互换座位后的结果相同，小兔坐在第1号座位上．故选A. 二、填空题 7．考查下列式子：1＝12；2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52,4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，得出的结论是________． [答案]　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析]　从数值特征看，等式左边首数为n时，共有连续2n－1个数，右边为(2n－1)2. 8．经计算发现下列正确不等式：＋2，＋2，＋2，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b成立的条件不等式：________. [答案]　当a＋b＝20时，有＋≤2(a0，b0) [解析]　各不等式右边相同，左边两根号内的数之和等于20. 三、解答题 9．已知Sn＝＋＋＋…＋，写出S1，S2，S3，S4的值，并由此归纳出Sn的表达式． [分析]　在Sn中分别令n＝1,2,3,4，可以求得S1，S2，S3，S4的值，再进行归纳推测． [解析]　S1＝＝； S2＝＋＝＋＝＝； S3＝＋＋＝＋＝＝； S4＝＋＋＋＝＋＝＝； 由此猜想：Sn＝(nN＋)． [点评]　本题利用归纳猜想的思想求得了Sn的表达式，有两点应注意：正确理解与把握数列求和中Sn的含义；在对特殊值进行规律观察时，有时需要将所得结果作变形处理，以显示隐藏的规律性． 10．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： sin213°＋cos217°－sin13°cos17°； sin215°＋cos215°－sin15°cos15°； sin218°＋cos212°－sin18°cos12°； sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°； sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数； (2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． [答案]　(1)　(2)sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝　证明略 [解析]　解法一： (1)选择(2)式，计算如下： sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－sin30° ＝1－＝. (2)三角恒等式为 sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos