如何建立控制系统的数学模型.ppt

2002-09-23 第2章 控制系统的数学模型 第2章 控制系统的数学模型 第二章 控制系统的数学模型 § 2.1 引言 一、数学模型的定义 为什么要建立数学模型：我们需要了解系统的具体的性能指标，只是定性地了解系统的工作原理和大致的运动过程是不够的，希望能够从理论上对系统的性能进行定量的分析和计算。要做到这一点，首先要建立系统的数学模型。它是分析和设计系统的依据。 另一个原因：许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样，可以用一个运动方程来表示，我们可以不单独地去研究具体系统而只分析其数学表达式，即可知其变量间的关系，这种关系可代表数学表达式相同的任何系统，因此需建立控制系统的数学模型。 比如机械平移系统和RLC电路就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。 二、数学模型的几种表示方式 三、建立控制系统数学模型的方法 但实际上有的系统还是了解一部分的，这时称为灰箱，可以分析计算法与工程实验法一起用，较准确而方便地建立系统的数学模型。 实际控制系统的数学模型往往是很复杂的，在一般情况下，常常可以忽略一些影响较小的因素来简化， 但这就出现了一对矛盾，简化与准确性。不能过于简化，而使数学模型变的不准确，也不能过分追求准确性，使系统的数学模型过于复杂。 § 2.2 控制系统的时域数学模型 若电枢电阻Ra和转动惯量Jm都忽略不计,则 ⑥可简化为 2.2.2 控制系统微分方程的建立 4将所得微分方程标准化： n－微分方程的阶次。将与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程左端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。 单变量线性定常系统能用定常系数的线性微分方程来描述； 微分方程所描述的是系统的输入与输出之间的关系，是系统的输入输出特性。 例2-3:试证明图2-3(a)、(b)所示的机、电系统是相似系 统(即两系统具有相同的数学模型)。 力-电压相似 2.2.3 线性微分方程的求解 具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一段直线来代替。（分段定常系统） 一个变量的非线性函数 y=f(x)，在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开 增量较小时略去其高次幂项，则有 Δy=kΔx ； k比例系数，函数在x0点切线的斜率 两个变量的非线性函数y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附近用台劳级数展开为 解：由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0 y0=6×11=66. 求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有 数学工具－拉普拉斯变换与反变换 ⑴ 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 ①t0时 f(t)=0 ② t0时，f(t)分段连续 2.常用函数的拉氏变换 (1)例1.求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 。 (2)例2.求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。 （3）例3.求指数函数f(t)= 的拉氏变换 几个重要的拉氏变换 3.拉氏变换的基本性质 (1)线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2)微分性质 若 ，则有 f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 证：根据拉氏变换的定义有 原函数二阶导数的拉氏变换 依次类推，可以得到原函数n阶导数的拉氏 变换 (3)积分性质 若 则 式中 为积分 当t=0时的值。 证：设 则有 由上述微分定理，有 即： 同理，对f(t)的二重积分的拉氏变换为 若原函数f(t)及其各重积分的初始值都等于0 则有 即原函数 f(t)的n重积分的拉氏变换等于其象 函数除以 。 （4）终值定理 原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 证：由微分定理，有 等式两边对s趋向于0取极限 注：若 时f(t)极限