2024_2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.5空间向量运算的坐标表示课后巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx
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第三章空间向量与立体几何
3.1空间向量及其运算
3.1.5空间向量运算的坐标表示
课后篇巩固提升
1.已知A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且=2a,则点B的坐标为()
A.(-7,10,24) B.(7,-10,-24)
C.(-6,8,24) D.(-5,6,24)
解析∵a=(-3,4,12),且=2a,∴=(-6,8,24),∵A(1,-2,0),∴B=(-6+1,8-2,24+0)=(-5,6,24),故选D.
答案D
2.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则向量的夹角为()
A.30° B.45° C.60° D.90°
解析由已知得=(0,3,3),=(-1,1,0),
因此cos=,
所以向量的夹角为60°.
答案C
3.若a=(1-m,2m-1,0),b=(2,m,m),则|b-a|的最小值是()
A. B. C. D.
解析∵b-a=(1+m,1-m,m),∴|b-a|=.∵m2≥0,
∴|b-a|≥,即|b-a|的最小值为.故选C.
答案C
4.已知空间向量=(x,y,8),=(z,3,4),,且||=5,则实数z的值为()
A.5 B.-5
C.5或-5 D.-10或10
解析因为,所以存在λ∈R,使得=λ,
又||=5,而=(z-x,3-y,-4),
则
解得故选C.
答案C
5.已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形态是()
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析=(3,4,-8),=(5,1,-7),=(2,-3,1),
所以||=,||=,||=,
因此||2+||2=75+14=89=||2.
所以△ABC为直角三角形.
答案C
6.下列各组向量中共面的组数为()
①a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5);
②a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,-1,2);
③a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1).
A.0 B.1
C.2 D.3
解析①设a=xb+yc,则解得故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.②中b=-2c,③中c=a-b.故②③中三个向量也共面.
答案D
7.已知a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=,给出下列等式:
①|a+b+c|=|a-b-c|;②(a+b)·c=a·(b+c);③(a+b+c)2=a2+b2+c2;④(a·b)·c=a·(b·c).
其中正确的个数是()
A.1 B.2 C.3 D.4
解析由题设可得a+b+c=,
则|a+b+c|=,a-b-c=,|a-b-c|=,故①正确;
(a+b)·c=(4,2,2)·=-+2-=0,a·(b+c)=(1,2,3)·+2-=0,故②正确;
(a+b+c)2=,而a2=14,b2=10,c2=,所以a2+b2+c2=,故③正确;
因为a·b=3+0-3=0,所以(a·b)·c=0,而b·c=-+0+=0,故a·(b·c)=0,故④正确.故选D.
答案D
8.已知a=(-2,1,3),b=(5,-2,x),且a⊥b,则实数x的值为.?
解析∵a=(-2,1,3),b=(5,-2,x),且a⊥b,∴a·b=-10-2+3x=0,解得x=4.∴实数x的值为4.
答案4
9.若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)·2b=-2,则实数x=.?
解析由已知得(c+a)=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.
答案-8
10.已知a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b与2a-b的夹角为钝角,则实数k的取值范围为.?
解析由a=(1,1,0),b=(-1,0,2),ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2),所以(ka+b)·(2a-b)=3×(k-1)+2k-40,解得k.
若ka+b与2a-b反向,则ka+b=λ(2a-b),λ0.
则所以k=-2.所以当ka+b与2a-b的夹角为钝角时,k且k≠-2.
综上,k的取值范围是(-∞,-2)∪.
答案(-∞,-2)∪
11.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).
(1)求以为邻边的平行四边形的面积;
(2)若|a|=,且a分别与垂直,求向量a的坐标.
解由题中条件可知,=(-2,-1,3),=(1,-3,2),(1)cos=.于是sin=.
故以为邻边的平行四边形的面积为
S=||||sin=14×=7.