2024_2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何模块复习课第4课时利用向量解决平行与垂直夹角问题课后巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx
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模块复习课
第4课时利用向量解决平行与垂直、夹角问题
课后篇巩固提升
基础巩固
1.已知向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),假如a∥b,那么x等于()
A.-1 B.1 C.-5 D.5
解析∵向量a=(x,2,-1),b=(2,4,-2),a∥b,
∴,
解得x=1.故选B.
答案B
2.已知=(2,3),=(3,t),||=1,则=()
A.-3 B.-2
C.2 D.3
解析由=(1,t-3),||==1,得t=3,则=(1,0).所以=(2,3)·(1,0)=2×1+3×0=2.故选C.
答案C
3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若=a,=b,=c,则=()
A.(c+b-a) B.(a+b-c)
C.(a-c) D.(c-a)
解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,∵点M,N分别是面对角线A1B与B1D1的中点,=a,=b,=c,
∴
=)+)
=(-c+b)+c+(-a-b)
=-a+c=(c-a),故选D.
答案D
4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,N是棱AD的中点,M是棱CC1上的点,且CC1=3CM,则直线BM与B1N所成的角的余弦值是()
A. B. C. D.
解析以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设N,0,0,B(3,3,0),M(0,3,1),B1(3,3,3),=(-3,0,1),=-,-3,-3.
cos=,故选D.
答案D
5.已知点A(m,-2,n),点B(-5,6,24)和向量a=(-3,4,12),且∥a,则点A的坐标为.?
解析∵A(m,-2,n),B(-5,6,24),
∴=(-5-m,8,24-n).
又向量a=(-3,4,12),且∥a,
∴=λa,即
解得λ=2,m=1,n=0,∴点A的坐标为(1,-2,0).
答案(1,-2,0)
6.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是.?
解析∵正方体棱长为a,A1M=AN=,
∴.
∴
=)+)
=.
又是平面B1BCC1的法向量,
∴=0.
∴.
又MN?平面B1BCC1,∴MN∥平面B1BCC1.
答案平行
7.在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则=.?
解析∵AD∥BC,且∠DAB=30°,
∴∠ABE=30°.
∵EA=EB,
∴∠EAB=30°.
∠AEB=120°.
在△AEB中,EA=EB=2,
=()·()
=-
=-12+2×2×cos30°+5×2×cos30°+5×2×cos180°=-22+6+15=-1.
答案-1
8.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,∠BAA1=45°,平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.
(1)求证:AA1⊥BC;
(2)若BB1=AB=2,直线BC与平面ABB1A1所成角为45°,D为CC1的中点,求二面角B1-A1D-C1的余弦值.
(1)证明过点C作CO⊥AA1,垂足为O,因为平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,所以CO⊥平面AA1B1B,故CO⊥OB.
又因为CA=CB,CO=CO,∠COA=∠COB=90°,
所以Rt△AOC≌Rt△BOC,故OA=OB.
因为∠A1AB=45°,所以AA1⊥OB.
又因为AA1⊥CO,所以AA1⊥平面BOC,故AA1⊥BC.
(2)解以O为坐标原点,OA,OB,OC所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
因为CO⊥平面AA1B1B,
所以∠CBO是直线BC与平面AA1B1B所成角,
故∠CBO=45°,所以AB=,AO=BO=CO=1,A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),A1(-1,0,0),B1(-2,1,0),D(-1,0,1),
设平面A1B1D的法向量为n=(x1,y1,z1),则
所以
令x1=1,得n=(1,1,0),因为OB⊥平面AA1C1C,
所以为平面A1C1D的一条法向量,
=(0,1,0),cosn,=,
所以二面角B1-A1D-C1的余弦值为.
9.如图,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.
(1)求证:BF∥平面ADE;
(2)求直线CE与平面BDE所成角的正弦值;
(3)若二面角E-BD-F的余弦值为,求线段CF的长.
(1)证明依题意,可以建立以A为原点,分别以的方向为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系(如图),可