2024_2025学年高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算课后巩固提升含解析新人教A版选修2_1.docx

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第三章空间向量与立体几何

3.1空间向量及其运算

3.1.3空间向量的数量积运算

课后篇巩固提升

1.已知e1,e2为单位向量,且e1⊥e2,若a=2e1+3e2,b=ke1-4e2,a⊥b,则实数k的值为()

A.-6 B.6 C.3 D.-3

解析由题意可得a·b=0,e1·e2=0,|e1|=|e2|=1,∴(2e1+3e2)·(ke1-4e2)=0,∴2k-12=0,∴k=6.

答案B

2.如图,空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,DC的中点,则=()

A. B. C. D.

解析由题意可得,,∴×1×1×cos60°=,故选B.

答案B

3.设平面上有四个互异的点A,B,C,D,已知(-2)·()=0,则△ABC是()

A.直角三角形

B.等腰三角形

C.等腰直角三角形

D.等边三角形

解析因为-2=()+()=,

所以(-2)·()=()·()==0,

所以||=||,因此△ABC是等腰三角形.

答案B

4.已知矩形ABCD,PA⊥平面ABCD,则以下等式中可能不成立的是()

A.=0 B.=0

C.=0 D.=0

解析选项A,?DA⊥平面PAB?DA⊥PB?=0;选项C,同选项A知=0;选项D,PA⊥平面ABCD?PA⊥CD?=0;选项B,若=0,则BD⊥PC,

又BD⊥PA,所以BD⊥平面PAC,故BD⊥AC,但在矩形ABCD中不肯定有BD⊥AC,故选B.

答案B

5.已知空间四边形ABCD中,∠ACD=∠BDC=90°,且AB=2,CD=1,则AB与CD所成的角是()

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析依据已知∠ACD=∠BDC=90°,得=0,

∴=()·+||2+=||2=1,

∴cos=,

∴AB与CD所成的角为60°.

答案C

6.已知空间向量a,b满意|a|=|b|=1,且a,b的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满意=2a+b,=3a-b,则△OAB的面积为()

A. B. C. D.

解析||=,

||=,

则cos∠AOB=,

从而有sin∠AOB=.

所以△OAB的面积S=|||sin∠AOB=.故选B.

答案B

7.已知空间向量a,b,c满意a+b+c=0,|a|=3,|b|=1,|c|=4,则a·b+b·c+c·a的值为.?

解析由a+b+c=0两边平方得(a+b+c)2=0,

所以a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,

a·b+b·c+c·a=-=-=-13.

答案-13

8.四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,则点B与点D1两点间的距离为.?

解析∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1各棱长均为1,∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°,

∴,

∴=()2=+2+2+2=1+1+1+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos120°+2×1×1×cos60°=2,

∴||=.∴点B与点D1两点间的距离为.

答案

9.

在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠D=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求PC的长.

解因为,

所以||2==()2=||2+||2+||2+2+2+2=62+42+32+2||||cos120°=61-12=49,所以||=7,即PC=7.

10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为D1C1的中点,试求所成角的余弦值.

解设正方体的棱长为1,=a,=b,=c,

则|a|=|b|=|c|=1,a·b=b·c=c·a=0.

∵=a+b,

=c+a,

∴=(a+b)·

=a·c+b·c+a2+a·b=a2=.

又||=,||=,

∴cos=,∴所成角的余弦值为.