常微分方程基本概念及其例题选讲.doc

一、基本概念 微分方程的定义及其解的定义（解、通解和特解，以及奇解）； 微分方程解的结构（包括非齐次线性微分方程（组）与齐次线性微分方程（组）解的结构之间的关系、解空间的维数和高阶线性微分方程与线性微分方程组之间的等价关系转化等）； 函数组（向量函数组）的线性相关性； 微分方程的通解中含有任意常数的个数是多少？． 判断在整个数轴上函数组，；以及向量函数组的线性相关性． 二、填空题 1、一阶微分方程通过点的特解是 ； 2、若是方程的三个线性无关的解，则方程的通解是 ． 3、若，是方程的两个解，则 是方程的解． 4、设是的基解矩阵，是的某一解，则的任一解可表为 ． 三、求微分方程的一些基本方法 1、分离变量方法求解微分方程，例如：； 2、 恰当方程的求解方法（积分因子）：； 4、高阶微分方程的求解方法（阶的结构）：降阶方法、欧拉待定指数方法（特征根方法）、常数变易方法、比较系数方法、拉普拉斯变换法等， 例如：求解微分方程：； 5、微分方程组的求解（基解矩阵的求法：特征根方法）：，其中． 四、近似计算 1、方程定义在矩形域上，试利用存在唯一性定理确定通过点的解的存在区间，求第三次近似解，并给出在解的存在区间的误差估计； 五、证明题 1、基解矩阵的验证等，例如：试证 是方程组在任何不包含原点的区间上的基解矩阵． 2、试证阶非齐线性方程至多存在个线性无关的解． 3、试证n元非齐次线性微分方程组之多有个线性无关的解． 4、给定方程，其中在实数轴上连续，设，是该方程的两个解，证明极限存在． 5、证明：如果在区间上是某一个线性齐次微分方程组的基解矩阵，那么此方程组必为．并求做一个线性齐次微分方程组，使它的基解矩阵为 6、证明：若和是的解，它们构成的朗斯基行列式记为， 则满足一阶线性微分方程． 7、设和是区间上的连续函数证明在区间上有常数或常数和在区间上线性无关．