一道课本三角题的构造解法.doc

一道课本三角题的构造解法 江苏省常熟市尚湖高级中学 王梅芳 笔者在翻阅任教课标高中数学必修4课本时，在课本第147页上有一道题引起了注意，而且题目中要求构造出一些求解方法，在期末复习课上，我选用了该题在课堂上发动学生通过小组合作来探求该题的构造解法，获得了丰硕的成果．．,，求的值．，课求出的值．为根可以构造一个一元二次方程来求出的值．平方，并利用，可得．是一元二次方程的两个根．和．，知，故得． ． ，知与的等差中项是，所以可构造等差数列来求解．，，成等差数列．，则，．，故有，可解得这样或 注意到，应有，故只能取， 从而．及，联想到解析几何中的直线和圆，可求出直线和圆的交点坐标．，，知点既在直线上，又在圆上。 联立，解得或 由已知，知，故应取，即 所以．的形式，联想到熟知的辅助角公式，可化成一个三角式的形式，再求出该式的余弦值。然后与已知式联立，求得、．， 得． ，知是钝角， 则，所以，即． 联立，易解得，． ．是两式和的形式，联想到常用的相关式法，设法求出两式差的值，那么进而可求出，的值．，联立方程组 ，两式平方相加，得．及，知是钝角，那么．．②及得，．的值，然后除以（=1），化为关于的二次齐次分式，将分子分母同除以，则可导出．平方，可得。 而， 则有 解得或 而由题设，有，又， 则知，因此 综上，应取．，，都可以用的式子来表示，这样将多个三角式化为一个三角式的形式，使解题方向明确，降低思维难度．，，代入中，化简整理可得， 解得或．，知，故，所以．．．终边与单位圆的交点为，则，，，．平方后结合可得， 可化为， 解得或，即或 而由，且，知， 则，因此应取．．．．．