对一道直角三角形考题的解法的深入思考.doc

对一道直角三角形考题的解法的深入思考 中考题往往是一题多解的代表性考题，不同的思考角度，就会得到不同的求解方法，带来 不同的数学的感受，下面就向大家介绍一例. 题目：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD 于H，点O是AB中点，连接OH，则OH=　 　． 思考角度1 三角形相似+勾股定理 分析：解答时，我们需要这样思考： (1).利用基本图形的结论，分别求得DH,BH的长度，基础是勾股定理先求BD的长度； （2）利用作高的方式，构造新的相似三角形； （3）用勾股定理最后求得OH的长度. 解：如图1，因为∠ACB=90°CH⊥BD，AC=BC=3，CD=1，所以BD=， 所以△CDH∽△BDC，△BHC∽△BCD，所以,, 所以DH=,BH=. 过点D作DM⊥AB，垂足为M，过点H作HN⊥AB，垂足为N，所以DM∥HN， 因为AC=BC=3，CD=1，所以AD=2,DM=，所以,所以HN=. 因为AB=3,AM=,所以BM=2,所以,所以BN=.因为BO=, 所以ON=BN-ON=-=,在直角三角形HNO中，根据勾股定理，得： HO==. 点评：此法主要用的是相似三角形的知识，求得构造出的直角三角形的两条直角边的长度，为勾股定理的使用创造条件. 思考角度2 三角形相似+全等+勾股定理 解：因为∠ACB=90°CH⊥BD，AC=BC=3，CD=1，所以BD=， 所以△CDH∽△BDC，所以,所以DH=. 在BD上截取BE=CH，连接CO，OE，因为∠ACB=90°，CH⊥BD，AC=BC=3，CD=1， 所以BD=，所以△CDH∽△BDC，所以,所以CH=,因为△ACB是等腰直角三角形，点O是AB中点，所以AO=OB=OC，∠A=∠ACO=∠BCO=∠ABC=45°， 所以∠OCH+∠DCH=45°，∠ABD+∠DBC=45°，因为∠DCH=∠CBD，所以∠OCH=∠ABD， 在△CHO与△BEO中，,所以△CHO≌△BEO，所以OE=OH，∠BOE=∠HOC， 因为OC⊥BO，所以∠EOH=90°，所以△HOE是等腰直角三角形，因为EH=BD﹣DH﹣CH==，所以OH=EH×=. 点评：巧妙构造三角形全等，生成一个全新的等腰直角三角形，且斜边可求，构造方法可谓创新别致. 思考角度3 建立平面直角坐标系法 坐标系法解题的关键是确定原点和坐标轴，建立不同的坐标系，也会带来不同的解题风格， 感受数学的深奥和迷人的魅力. 坐标系1：如图3，以点A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 过点D作DM⊥AB，垂足为M，因为AC=BC=3，CD=1，所以AD=2,DM=AM=，AB=3， 连接CO，则CO⊥AB，所以AO=OB=CO=，所以点D(,), 点C(, ), 点B(3,0), 点O(,0),设直线BD的解析式为y=x+，把D(,),B(3,0)分别代入解析式，得，解得，所以直线的解析式为y=-x+；设直线CH的解析式为y=x+，因为CH⊥BD，所以·=-1，所以=2， 所以y=2x+，把点C(, )代入解析式，得=3+，所以=-， 所以直线CH的解析式为y=2x-,所以点H的坐标为方程组的解， 解得，所以点H的坐标为（，），所以HO==. 坐标系2：如图4，过点H作HN⊥AB，垂足为N，以AB所在的直线为x轴，点N为原点建立平面直角坐标系，过点D作DM⊥AB，垂足为M，接下来的请读者自己完成. 坐标系3：如图5，以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系， 过点D作DM⊥AB，垂足为M，因为AC=BC=3，CD=1，所以AD=2,DM=AM=，AB=3， 连接CO，则CO⊥AB，所以AO=OB=CO=，所以点D(-,), 点C(0, ), 点B(,0), 点O(0,0),设直线BD的解析式为y=x+，把D(-,),B(,0)分别代入解析式，得，解得，所以直线的解析式为y=-x+； 设直线CH的解析式为y=x+，因为CH⊥BD，所以·=-1，所以=2， 所以y=2x+，把点C(0, )代入解析式，得=，所以=， 所以直线CH的解析式为y=2x+,所以点H的坐标为方程组的解， 解得，所以点H的坐标为（，），所以HO==.