一道高考变形题的多种解法.doc

一道高考变形题的多种解法 题目：已知O、A、B、C依次为同一直线上的四点，AB间的距离为，BC间的距离为。一物体自O点由静止出发，沿此直线做匀加速运动，依次经过A、B、C三点，并且物体通过AB段与BC段所用的时间相等，求O到A之间的距离。 [解法一]：初速度为零的匀加速直线运动连续相等时间内的位移比为连续奇数比，如下图所示： 在上图中，我们找到了相邻的时间相等的两段位移，而且它们的比为。 由此我们知道，每份的长度应该为。OA的长度为 [解法二]：设物体经过A点时的速度为，加速度为，通过AB段与BC段的时间均为。有： ① ② ③ ③-②×2得： 即： ②×4-③得： 即： 因此有： 。 [解法三]：AB段中间时刻的速度等于AB段的平均速度，有： BC段中间时刻的速度等于BC段的平均速度，有： 这两个中间时刻间的时间正好为，因此，物体的加速度为 B为AC的中间时刻，故物体经过B点的速度为 OB段的距离为 。 [解法四]：由公式，有 （下面的过程与解法三相同，略。） [解法五]：画出物体运动过程的图象： 由于，所以有： ① ② ①+②得： 即： 解得：。 [解法六]：在解法一中，有凑数的意思，如果这个特点不容易发现的话，又应该如何呢？我们知道，从1开始的连续奇数比的第n项为2n-1，第n+1项为2n+1。设相邻的这两段时间各占m份，则有： 第一段：2n- 2m-1 、……、2n-5、2n-3、2n-1 第二段：2n+1、2n+3、2n+5、……、2n+ 2m-1 第一段的总份数为： 第二段的总份数为： 两段的位移比等于份数比，因此： 化简有： 上面方程的最小整数解有：，。因此有： 第一段：9、7 第二段：11、13 （剩下的过程与解法一相同，略） 其实，我们会发现，还有别的组合可以构成题目中的位移比。如：，时（原来的2倍），有： 第一段：19、17、15、13（和为原来的4倍） 第二段：21、23、25、27（和为原来的4倍） 第一段前的份数：1、3、5、7、……、17（和为原来的4倍） ，时（原来的3倍），有： 第一段：29、27、25、23、21、19（和为原来的9倍） 第二段：31、33、35、37、39、41（和为原来的9倍） 第一段前的份数：1、3、5、7、……、25、27（和为原来的9倍） …… 上面的所有可能计算出来的结果是相同的，因为它们的和总是增加相同的倍数。 *[解法六]：解法六中解决了、有具体数值时的问题。如果不给具体数值，又当如何呢？ 像解法六一样，我们可以得到： 化简可得： 令， 第一段内的份数为： 每份的长度为： 第一段前面的总的份数为： （） 所以，OA段的长度为： 。 留下的问题：上面的和可能不为整数，但计算出来的结果和把它看成整数相同，有什么更本质性的原因吗？ 3 O 1 3 5 7 9 11 13 15 7+9 16 11+13 24 A B C v/ms-1 t/s O t t x 4m 6m P Q R S M N t0