二次函数双最值（将军饮马）.docx

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姓名：TIME\@yyyy年M月d日星期W2024年9月13日星期五

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TIME\@yyyy年M月d日星期W2024年9月13日星期五

二次函数

二次函数双最值与将军饮马、胡不归

一、将军饮马模型

【两定一动】

如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？

当A’、P、B三点共线的时候，PA’+PB=A’B，此时为最小值（两点之间线段最短）

【一定两动】

在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小．

此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线）的对称点，化折线段PM+MN+NP为P’M+MN+NP’’，当P’、M、N、P’’共线时，△PMN周长最小．

【两定两动】

在OA、OB上分别取点M、N使得四边形PMNQ的周长最小。

考虑PQ是条定线段，故只需考虑PM+MN+NQ最小值即可，类似，分别作点P、Q关于OA、OB对称，化折线段PM+MN+NQ为P’M+MN+NQ’，当P’、M、N、Q’共线时，四边形PMNQ的周长最小。

【一定两动】

在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小。

此处M点为折点，作点P关于OA对称的点P’，将折线段PM+MN转化为P’M+MN，即过点P’作OB垂线分别交OA、OB于点M、N，得PM+MN最小值（点到直线的连线中，垂线段最短）

【将军过桥】

已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可．问题在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A点落在A’位置．

问题化为求A’N+NB最小值，显然，当共线时，值最小，并得出桥应建的位置．

【用几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起】

【将军过两个桥】

已知将军在图中点A处，现要过两条河去往B点的军营，桥必须垂直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？

考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平移使其连接到一起．

AP平移至A’Q，NB平移至MB’，化AP+QM+NB为A’Q+QM+MB’．

当A’、Q、M、B’共线时，A’Q+QM+MB’取到最小值，再依次确定P、N位置．

【将军遛马】

如图，将军在A点处，现在将军要带马去河边喝水，并沿着河岸走一段路，再返回军营，问怎么走路程最短？

【问题简化】已知A、B两点，MN长度为定值，求确定M、N位置使得AM+MN+NB值最小？

【分析】考虑MN为定值，故只要AM+BN值最小即可．将AM平移使M、N重合，AM=A’N，将AM+BN转化为A’N+NB．

构造点A关于MN的对称点A’’，连接A’’B，可依次确定N、M位置，可得路线．

三、二次函数双最值：结合将军饮马问题

例：如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.

（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，求点P的坐标以及△PAC的面积最大值；

（3）在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点H，使PH+DH的值最小，求点H的坐标.

变式1：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点I，使的值最大，求点I的坐标.

变式2：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△PAC的面积最大时，在轴上找一点L，使的值最大，求点L的坐标.

变式3：点M（，），点N为轴上一动点，连接MN，将△OMN沿MN折叠，点O的对应点为，连接，在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△APC面积最大时，求的最小值.

变式4：在直线AC上方的抛物线上有一动点P，当△APC面积最大时，K、R为线段AO上的两动点，且KR=1，当四边形PKRC的周长最小时，求点K的坐标.

四、强化训练

1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与轴交于点，与轴交于两点（在的左侧），连接．

(1)求抛物线的表达式；

(2)点是射线上方抛物线上的一动点，过点作轴，垂足为，交于点．点是线段上一动点，轴，垂足为，点为线段的中点，连接．当线段长度取得最大值时，求的最小值；

(3)将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点，且与直线相交于另一点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标．

2．如图，抛物线过点A（，2），且与直线交于B、C两点，点B的坐标为（，m）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点