《自动控制原理》实验报告(线性系统的根轨迹).doc

实验四 线性系统的根轨迹 一、实验目的 熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。 利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。 掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。 掌握系统参数变化对特征根位置的影响。 基础知识及MATLAB函数 根轨迹是指系统的某一参数从零变到无穷大时，特征方程的根在s平面上的变化轨迹。这个参数一般选为开环系统的增益K。课本中介绍的手工绘制根轨迹的方法，只能绘制根轨迹草图。而用MATLAB可以方便地绘制精确的根轨迹图，并可观测参数变化对特征根位置的影响。 假设系统的对象模型可以表示为 系统的闭环特征方程可以写成： 对每一个K的取值，我们可以得到一组系统的闭环极点。如果我们改变K的数值，则可以得到一系列这样的极点集合。若将这些K的取值下得出的极点位置按照各个分支连接起来，则可以得到一些描述系统闭环位置的曲线，这些曲线又称为系统的根轨迹。 绘制系统的根轨迹rlocus（） MATLAB中绘制根轨迹的函数调用格式为： rlocus(num,den) 开环增益k的范围自动设定。 rlocus(num,den,k) 开环增益k的范围人工设定。 rlocus(p,z) 依据开环零极点绘制根轨迹。 r=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵。 [r,k]=rlocus(num,den) 不作图，返回闭环根矩阵r和对应的开环增益向量k。 其中，num,den分别为系统开环传递函数的分子、分母多项式系数，按s的降幂排列。K为根轨迹增益，可设定增益范围。 例3-1：已知系统的开环传递函数，绘制系统的根轨迹的matlab的调用语句如下： num=[1 1]; %定义分子多项式 den=[1 4 2 9]; %定义分母多项式 rlocus (num,den) %绘制系统的根轨迹 grid %画网格标度线 xlabel(‘Real Axis’),ylabel(‘Imaginary Axis’) %给坐标轴加上说明 title(‘Root Locus’) %给图形加上标题名 则该系统的根轨迹如图3-1所示： 图3-1 系统的完整根轨迹图形 图3-1 系统的完整根轨迹图形 图3-2 特定增益范围内的根轨迹图形 若上例要绘制K在（1，10）的根轨迹图，则此时的matlab的调用格式如下，对应的根轨迹如图3-2所示。 num=[1 1]; den=[1 4 2 9]; k=1:0.5:10; rlocus (num,den,k) 确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind（） 在MATLAB中，提供了rlocfind函数获取与特定的复根对应的增益K的值。在求出的根轨迹图上，可确定选定点的增益值K和闭环根r（向量）的值。该函数的调用格式为：[k,r]=rlocfind(num,den) 执行前，先执行绘制根轨迹命令rlocus（num,den），作出根轨迹图。执行rlocfind命令时，出现提示语句“Select a point in the graphics window”，即要求在根轨迹图上选定闭环极点。将鼠标移至根轨迹图选定的位置，单击左键确定，根轨迹图上出现“+”标记，即得到该点的增益K和闭环根r的返回变量值。 例3-2：系统的开环传递函数为，试求：（1）系统的根轨迹；（2）系统稳定的K的范围；（3）K=1时闭环系统阶跃响应曲线。则此时的matlab的调用格式为： G=tf([1,5,6],[1,8,3,25]); rlocus (G); %绘制系统的根轨迹 [k,r]=rlocfind(G) %确定临界稳定时的增益值k和对应的极点r G_c=feedback(G,1); %形成单位负反馈闭环系统 step(G_c) %绘制闭环系统的阶跃响应曲线 则系统的根轨迹图和闭环系统阶跃响应曲线如图3-2所示。 其中，调用rlocfind（）函数，求出系统与虚轴交点的K值，可得与虚轴交点的K值