第六章_弹性力学平面问题的直角坐标系解答..doc

第六章 弹性力学平面问题的直角坐标系解答 在第五章讨论了弹性力学问题的基本解法：位移法和应力法，并结合简单的三维问题，根据问题的特点，猜想问题的应力解或位移解，并验证猜想的解是否满足应力法或位移法的基本方程和边界条件，满足则为问题真解。 弹性体都是三维的，而受力（外力）一般也是空间力系，但如果所研究弹性体具有某种特殊形状。例如：一个方向的尺寸远比其他两个方向的尺寸大的多或小的多，并且承受某种特殊规定的外力和约束，则可以把空间问题（三维）作为近似的平面问题（二维）处理，这将使分析和计算大大简化，而所得结果也能满足工程上对精度的要求。 第1节 平面问题的分类 平面问题在工程中极为常见，而且平面问题的解析解在整个弹性力学解析解中占有较大比重。因此必须给予足够的重视。 平面问题分为平面应力问题和平面应变问题两类。 下面将它们分类简要说明一下。 平面应力问题 固体的形状特点： 物体一个方向尺寸比其它两个 方向尺寸小的多（等厚度薄板）。 受力和约束特点：沿厚度（x3方向）均匀分布，体力f3 = fz = 0, 面力，在薄板表面无面力，坐标系（x1 , x2 , x3）放在板厚中间平面——中平面，以z(或x3）轴垂直板面。满足上述条件的问题称为平面应力问题。 由物体几何特点和受力特点知： 在 处， ? ?z=?zx=?zy=0。 由于薄板很薄，表面三个应力分量为零，则近似认为 在V内认为 ?z=?zx=?zy=0。 平面应力问题：应力分量仅存三个 ?x=?x(x,y), ?y=?y(x,y),?xy=?xy(x,y),均为x,y的函数，待求。 将应力分量代入各向同性材料的本构关系 存在四个应变分量(待求量)：?x , ?y , ?xy ,?z（其中 ?z 不独立） 位移分量待求量： u(x,y) , v(x,y)（考虑平面内位移）. 平面应力问题待求未知函数一共八个：3个应力＋3个应变＋2个位移 平面应变问题 形状特点：物体一个方向尺寸（z 或x3）比其它两个方向（x,y或x1 ,x2）大的多，如水坝、涵洞。 受力和约束情况：沿z (或x3）轴方向无变化，体力f3 = fz = 0，面力 ，这样x3 = z = const面均可看成对称面，对称结构受对称荷载和约束，则此对称面处的位移和变形为零，即 w=0(?z=0),?zx=?zy=0 所以平面应变问题：应变分量仅有三个 ?x,?y,?xy=?yx， 位移分量两个：u(x,y) , v(x,y)， 应力分量：?x, ?y,?xy, ?z（其中 ?z 不独立）。 平面应变问题待求未知函数仍然八个：3应力＋3应变＋2位移。 第2节 平面问题的基本方程和边界条件 2.1 平衡微分方程（2个） 两个平面问题一致：??? ,?+f?=0, ?,?=1,2 ， 几何方程（3个） 两平面问题一致： , ， 相容方程（1个） 两平面问题一致： 对于平面应力问题还应有 ，，， 但对于薄板厚度尺寸远此三个方程可以不考虑。 本构方程（3个） 平面应力问题 ，， 平面应变问题 ，， 两个平面问题的基本方程仅物理方程有所不同，将平面应力物理方程中弹性系数 ，，则平面应力问题的物理方程变为平面应变问题的物理方程。所以按平面应力问题求解的结果中弹性系数也如此替换，则可得到平面应变问题解。 边界条件 位移边界条件： (?=1,2） ， 在Su上 力的边界条件： ， 在S?上 平面问题的基本解法 位移法 基本未知函数：u(x,y) , v(x,y) 基本方程两个：用u , v 表示的平衡微分方程。 平面应力问题： 其中 平面应变问题： 边界条件：位移边界 ， 在Su上 力的边界 ， 在S? 上