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弹性力学-第三章 平面问题的直角坐标解答.ppt

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x y O (b) 代入式(b),有: (3-7) —— 李维(Levy)解答 沿水平方向的应力分布 与材力结果比较: —— 沿水平方向不变,在材力中无法求得。 —— 沿水平方向线性分布,与材力中偏心受压公式算得结果相同。 —— 沿水平方向线性分布,材力中为抛物线分布。 (3-7) —— 李维(Levy)解答 x y O 沿水平方向的应力分布 结果的适用性: (1) 当坝的横截面变化时,不再为平面应变问题,其结果误差较大。 (2) 假定坝下端无限延伸,可自由变形。而实际坝高有限,底部与基础相连,有地基约束,故底部处结果误差较大。 (3) 实际坝顶非尖顶,坝顶处有其它载荷,故坝顶处结果误差较大。 —— 三角形重力坝的精确分析,常借助于有限元数值方法求解。 工程应用: —— 求使坝稳定时的角度 ,称为安息角。 平面问题的直角坐标解答 一、多项式解答 ——逆解法 二、梁、长板类弹性体应力函数方法 应力分量与梁内力的关系可表示为: 考虑挤压应力影响导致 然后由: 确定应力函数 的具体形式。 三、三角形板、楔形体的求解方法 因次分析法(量纲分析法): x y O 楔形体,下部可无限延伸。 侧面受水压作用: (水的溶重); 自重作用: (楔形体的溶重); 分析思路: (a) ∵ 的量纲为: ∴ 的形式应为: 的线性组合。 的量纲为: (b) 由 推理得: 应为 x、y 的三次函数。 应力函数可假设为: 按应力求解平面问题的基本步骤 (常体力情形) (1) (2-27) (2) 然后将 代入式(2-26)求出应力分量: 先由方程(2-27)求出应力函数: (2-26) (3) 再让 满足边界条件和位移单值条件(多连体问题)。 (2-28) (无体力情形) 应力函数的求解方法: (1)逆解法; (2)半逆解法。 两类问题应力函数φ(x,y)的求解方法 (1) 梁、长板类弹性体应力函数 φ(x,y)方法 应力分量与梁内力的关系可表示为: 考虑挤压应力影响导致 然后由: 确定应力函数 的具体形式。 (2) 楔形体应力函数 φ(x,y)方法 因次分析法(量纲分析法): x y O 楔形体,下部可无限延伸。 侧面受水压作用: (水的溶重); 自重作用: (楔形体的溶重); 分析思路: (a) ∵ 的量纲为: ∴ 的形式应为: 的线性组合。 的量纲为: 由 推理得: (b) 应为 x、y 的三次函数。 应力函数可假设为: 课堂练习: 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x,y) 。 3. z方向(垂直于板面)很长的直角六面体,上边界受均匀压力 p 作用,底部放置在绝对刚性与光滑的基础上,如图所示。不计自重,试确定其应力和位移分量。 2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式,以下函数能作为应力函数φ(x,y) 。 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x,y) 。 (1) (2) (3) 解: (1) 将其代入相容方程,有 满足相容方程,φ1可作为应力函数。 (2) 将其代入相容方程,有 不满足相容方程,φ2不可作为应力函数。 1. 试指出以下三个函数中哪个可作为求解平面问题的应力函数φ(x,y) 。 (1) (2) (3) 解: (3) 将其代入相容方程,有 当D = 0时,满足相容方程,φ3可作为应力函数; 当D≠0时,不满足相容方程,φ3不可作为应力函数。 2. 试问 f(x)、f1(x) 取何种形式,以下函数能作为应力函数φ(x,y) 。 解: 将应力函数代入相容方程,有 上述方程中,要使对任意的 x、y 成立,有 积分得 3. z方向(垂直于板面)很长的直角六面体,上边界受均匀压力 p 作用,底部放置在绝对刚性与光滑的基础上,如图所示。不计自重,且 h b。试确定其应力和位移分量。 解: 分析截面内力: 积分得: 代入相容方程,有: 要使对任意的 x、y 成立,有 积分,得: 1 确定应力函数 (1) 2 计算应力分量 (1) (2) 3 由边界条件确定常数 左右边界: (3) 上边界: (3) (4) (5) (6) (7) 代入式(1)和(4),有: (8) (9) x y l l ql ql 1 y z h/2 h/2 q (a) (b) —— 任意的待定函数 (3) 由 确定: 代入相容方程: x y l
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