线性系统状态方程的解.doc

第三章 线性系统的运动分析 §3-1线性连续定常齐次方程求解 一、齐次方程和状态转移矩阵的定义 １、齐次方程 状态方程的齐次方程部分反映系统自由运动的状况（即没有输入作用的状况），设系统的状态方程的齐次部分为： 线性定常连续系统： ２、状态转移矩阵的定义 齐次状态方程有两种常见解法：（1）幂级数法；（2）拉氏变换法。其解为。其中称为状态转移矩阵（或矩阵指数函数、矩阵指数），记为：。 若初始条件为，则状态转移矩阵记为： 对于线性时变系统，状态转移矩阵写为，它是时刻t，t0的函数。但它一般不能写成指数形式。 （１）幂级数法 　　设的解是t的向量幂级数 　　　　　　 式中都是n维向量，则 　　　　　 　　　　　　　 故而有： 　　　　　　 且有。 故 　　　 　　　　　 　　　　　 定义： 则。 （２）拉氏变换解法 将两端取拉氏变换，有 　　　　　 　　　　　 　　　　　　　 拉氏反变换，有 　　　　　　　 则 　　 【例3.1.1】 已知系统的状态方程为，初始条件为，试求状态转移矩阵和状态方程的解。 解：（１）求状态转移矩阵 　　 此题中： 　　　，　 所以 　　　 　　（２）状态方程的解 　　　 【例3.1.2】 已知系统状态方程为，初始条件为，试求状态方程的解。 解： 故而 二、状态转移矩阵的性质 （1） （2） （3） 证明： （4）， 证明： （5） 证明： ，代入上式 ∴ 证毕。 （6） 证明：………………………. …………………(1) ……………………………………………(2) …………….(3) 比较（1）(3)式，有成立。证毕。 （7） 　　证明： （8）若，则 若，则 （9）设为的状态转移矩阵，引入非奇异变换后的状态转移矩阵为： 证明：将代入中，有 ∴。证毕。 （10）两种常见的状态转移矩阵 ①设，即A为对角阵，且具有互异元素。则 ②设A为约当阵 ，则 【例3.1.3】 已知状态转移矩阵为 试求和A。 解：（1）根据状态转移矩阵的性质4，可知 （2）根据状态转移矩阵的性质2，可知 【例3.1.4】 已知 试求状态转移矩阵。 解：根据状态转移矩阵的性质10，可知 【例3.1.5】 验证如下矩阵是否为状态转移矩阵。 解：利用性质（1） ，所以该矩阵不是状态转移矩阵。 【例3.1.6】 已知系统状态方程为， 当时， 当时， 试求系统矩阵A和状态转移矩阵。 解：由性质（2）可知： 由已知，有 ∴ ∴ §3-2 线性连续定常非齐次状态方程的解 线性定常非齐次状态方程：，求。 1、直接积分法 左乘，有 由于 所以，两端同时积分，有 ∴ 注意：若取作为初始时刻，积分可得： 2、拉氏变换法 ，两边同时取拉氏变换 则 由拉氏变换卷积定理： 在此视为，视为。则 【例3.2.1】 已知系统状态方程为，输入， 初始条件为，试求解此非齐次状态方程。 解：由已知有 （1）先求，由前面例题可知 （2）求 故而