线性系统状态反馈.doc

§5-3 状态反馈下闭环系统的镇定问题 一、渐近稳定 渐近稳定：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。 所谓镇定问题是指受控系统通过状态反馈使闭环系统的极点具有负实部，使系统渐近稳定。 显然，镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况。其设计目标是使闭环极点分布在复平面左侧，而不是严格位于指定的位置。 二、状态可镇定定义 定义5.1（状态可镇定定义）： 对于线性定常系统，如果存在状态反馈增益矩阵，使得闭环系统是渐近稳定的，则称此系统是状态可镇定的。 如果完全可控，则它必然是可镇定的。但是一个可镇定的系统未必是完全可控的。 定理5.5： 线性定常系统是状态可镇定的充要条件是：其不可控子系统是渐近稳定的。 【例5.3.1】已知系统状态方程为 试判别其是否为可镇定的。若是可镇定的，试求一状态反馈增益矩阵使闭环系统为渐近稳定的。 解： （1）判别系统可控性 ，，故系统不完全可控。 （2）将系统按可控性进行规范分解。 ，，，故而 变换后系统的动态方程为： 式中： 可控子系统动态方程： 不可控子系统动态方程： 可见，由可得到，故不可控子系统是稳定的，所以该系统是可镇定的。 （3）对可控子系统作状态反馈，使系统成为稳定的。设对于变量的反馈系数矩阵为 则可控子系统的闭环特征多项式为 其中：， 欲使系统稳定，根据劳斯稳定判据： 为保证系统稳定，应有 取 取 即 （4）对于系统原状态下的状态反馈系数矩阵为 §5-4 输出反馈与极点配置 经典控制理论中所讨论的反馈都是输出反馈，输出反馈有两种形式： （1）将输出量反馈至状态微分处 （2）将输出量反馈至参考输入处 一、输出反馈至状态微分 1、MISO系统动态方程 ， 输出反馈系统动态方程为： ， 即 ， 其中：为输出反馈系数矩阵。 定理5.6: 用输出至状态微分处的反馈任意配置闭环极点的充要条件是：受控系统可观测。 2、输出至状态微分处的输出反馈增益矩阵的设计 根据期望闭环极点设计的方法是：将期望特征多项式与该输出反馈系统的特征多项式相比较即可。 【例5.4.1】已知系统传递函数为 试设计输出至状态微分的反馈增益阵，使闭环系统的极点为，。 解：SISO系统不存在零极点对消，故系统可观测。可观测标准型为： ， 令 令，有 故 二、输出至参考输入的反馈 ， 即 结 论：输出至参考输入的反馈不会改变受控系统的可控性和可观测性。 §5-5 状态观测器的设计 状态观测器又称状态估计器、状态重构器。本节只讨论系统在无噪声干扰条件下的状态观测器设计问题。 当利用状态反馈配置系统极点时，需要用传感器测量状态变量以便实现反馈。但在许多情况下，通常只有被控对象的输入量和输出量可以用传感器测量，而多数状态变量不易测得或不可能测得，于是提出了利用输入量和输出量建立状态观测器而重构状态的问题。 一、全维状态观测器 全维状态观测器：重构状态向量的维数等于受控系统状态向量的维数。 原受控系统动态方程为： ， 全维状态观测器的动态方程为： 也可写成： 式中：称为全维状态观测器系统矩阵。 为维矩阵：为受控系统的特征多项式最高次幂，为输出向量维数。 ☆☆现在关键在于分析能否在任何初始条件下，其与尽管不同，但总能满足 分析：由于 故 上述方程的解为： 当时，恒有，所引入的输出反馈并不起作用；当时，为使，输出反馈起作用。这时只要的特征值具有负实部。当时，总有 成立。 定理5.7: 若受控系统可观测，则其状态可用形如 的全维状态观测器给出估值。矩阵按任意配置极点的需要来选择。 【例