2024_2025学年高中数学第二章平面向量4.2平面向量数量积的坐标表示模夹角课时练习含解析新人教A必修4.doc

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平面对量数量积的坐标表示、模、夹角

(20分钟35分)

1.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则a·b的值为()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选D.a+b=(3,k+2),由a+b与a共线,可得3k-(k+2)=0,解得k=1,则a=(1,1),从而a·b=1×2+1×2=4.

2.已知a=(3,-1),b=(1,-2),则a与b的夹角为 ()

A. B. C. D.

【解析】选B.a·b=3×1+(-1)×(-2)=5,|a|==,

|b|==,设a与b的夹角为θ,则cosθ===.又0≤θ≤π,所以θ=.

3.已知a=(2,-3),b=(1,-2),且c⊥a,b·c=1,则c的坐标为 ()

A.(3,-2) B.(3,2)

C.(-3,-2) D.(-3,2)

【解析】选C.采纳验证的方法知,c=(-3,-2)满意c·a=-6+6=0,

所以c⊥a,b·c=1×(-3)+(-2)×(-2)=1.

4.已知向量m=(1,1),向量n与向量m的夹角为,且m·n=-1,则|n|= ()

A.-1 B.1 C.2 D.-2

【解析】选B.cos===-,|n|=1.

5.(2024·北京高考)已知正方形ABCD的边长为2,点P满意=(+),则||=;·=.?

【解析】如图建系,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),

所以=(2,0),=(2,2),=(2,1),P(2,1),=(-2,1),||=,又=(0,-1),所以·=-1.

答案:-1

【补偿训练】

已知=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥(O为坐标原点),则点C的坐标是.?

【解析】设C(x,y),则=(x,y),又=(-3,1),

所以=-=(x+3,y-1),

因为∥,所以5(x+3)-0·(y-1)=0,

所以x=-3.因为=(0,5),

所以=-=(x,y-5),=-=(3,4).因为⊥,所以3x+4(y-5)=0,所以y=,所以C点的坐标是.

答案:

6.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:

(1)向量a的模;

(2)与a平行的单位向量的坐标;

(3)与a垂直的单位向量的坐标.

【解析】(1)因为a==(2,1)-(-2,4)=(4,-3),

所以|a|==5.

(2)与a平行的单位向量是±=±(4,-3),

即坐标为或.

(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),则a·e=4m-3n=0,所以=.又因为|e|=1,所以m2+n2=1.

解得或

所以e=或.

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.(2024·宜宾高一检测)已知向量a=(2,m),b=(4,-2),且(a+b)⊥(a-b),则实数m= ()

A.-4 B.4 C.±2 D.±4

【解析】选D.因为(a+b)⊥(a-b),所以(a+b)·(a-b)=a2-b2=4+m2-16-4=0,解得m

2.直角坐标系xOy中,=(2,1),=(3,k),若△ABC是直角三角形,则k的可能值的个数是 ()

A.1 B.2 C.3 D.4

【解析】选B.由-==(-1,1-k),若·=0,所以k=-6,若·=0,所以k=-1,若·=0,所以k2-k+3=0,由Δ0知无解.所以k的可能值有2个.

3.(2024·绵阳高一检测)在△ABC中,角A为,角A的平分线AD交BC于点D,已知AD=2,且λ=-(λ∈R),则在方向上的投影是()

A.1 B. C.3 D.

【解析】选D.由λ=-可得:=λ+,因为B,C,D三点共线,故λ+=1,即λ=.所以=+.以A为原点,以AB为x轴建立平面直角坐标系如图所示,则D(3,),设B(m,0),C(n,n),

由=+得:,解得m=3,n=3.故B(3,0),所以在方向上的投影为||cos30°=.

4.已知向量=(2,2),=(4,1)(O为坐标原点),在x轴上有一点P,使·有最小值,则点P的坐标是 ()

A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)

【解析】选C.设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),所以·=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1,故当x=3时,·最小,此时点P的坐标为(3,0).

5.已知向量a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈,则|a+b|的取值范围是 ()

A.[0,] B.[1,]

C.[1,2] D.[,2]

【解析】选D.|a+b|==.因为θ∈,所以cosθ∈[0,1].所以|a+b|