2024_2025学年高中数学第二章平面向量5平面向量应用举例课时练习含解析新人教A必修4.doc
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平面对量应用举例
(20分钟35分)
1.(2024·廊坊高一检测)假如一架飞机先向东飞行200km,再向南飞行300km,设飞机飞行的路程为skm,位移的模为akm,则()
A.sa B.sa
C.s=a D.s与a不能比较大小
【解析】选A.物理量中的路程是数量,位移是向量,从而s=500,由位移的合成易得a500,故sa.
2.在△ABC中,AB=3,AC边上的中线BD=,·=5,则AC的长为 ()
A.1B.2C.3D.4
【解析】选B.因为=-=-,
所以==-·+,即=1,所以||=2,即AC=2.
3.若四边形ABCD满意+=0,(-)·=0,则该四边形肯定是 ()
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.直角梯形
【解析】选C.因为+=0,所以=,所以四边形ABCD是平行四边形.由(-)·=0,得·=0,所以⊥,即此平行四边形对角线相互垂直,故肯定是菱形.
4.河水的流速为2m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为 ()
A.10m/s B.2m/s
C.4m/s D.12m/s
【解析】选B.由题意知|v水|=2m/s,|v船|=10m/s,作出示意图如图.
所以小船在静水中的速度大小|v|==
=2(m/s).
5.若O为△ABC所在平面内一点,且满意(-)·(+-2)=0,则△ABC的形态为.?
【解析】(-)·(+-2)
=(-)·(-+-)
=(-)·(+)=||2-||2=0,
所以||=||,所以△ABC为等腰三角形.
答案:等腰三角形
6.已知等腰△ABC中,BB′,CC′是两腰的中线,且BB′⊥CC′,求顶角A的余弦值.
【解析】以底边BC所在的直线为x轴,以边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,如图所示,
设A(0,a),C(c,0),则B(-c,0),=(0,a),=(c,a),
=(c,0),=(2c,0),=(c,-a).
因为BB′,CC′分别为AC,AB边上的中线,所以′=(+)=,′=(+)=.
又因为′⊥′,所以c·+·=0,
即a2=9c2.
所以cos∠BAC===,即△ABC的顶角A的余弦值是.
(30分钟60分)
一、选择题(每小题5分,共25分)
1.O是平面ABC内的肯定点,P是平面ABC内的一动点,若(-)·(+)=(-)·(+)=0,则O为△ABC的 ()
A.内心 B.外心
C.重心 D.垂心
【解析】选B.因为(-)·(+)=0,则(-)·(+)=0,所以-=0,
所以||=||.同理可得||=||,即||=||=||,所以O为△ABC的外心.
2.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为()
A.5N B.5N C.5N D.10N
【解析】选A.画出图形,如图所示,由题意|F1+F2|=10,
所以|F1|=|F1+F2|cos60°=5N.
3.(2024·宜宾高一检测)如图,△ABC的外接圆的圆心为O,AB=2,AC=3,则·等于 ()
A. B. C.2 D.3
【解析】选B.·=·(-)=·-·,因为OA=OB,所以在上的投影为||,所以·=||·||=2,
同理·=||·||=,故·=-2=.
4.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则= ()
A.2 B.4 C.5 D.10
【解析】选D.将△ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则=
=
=
=
=-6=42-6=10.
5.如图,设P为△ABC内一点,且2+2+=0,则S△ABP∶S△ABC= ()
A. B. C. D.
【解析】选A.设AB的中点是D,连接PD.
因为+=2=-,
所以=-,所以C,P,D三点共线且P为CD的五等分点,
所以△ABP的面积为△ABC的面积的,即=.
【补偿训练】
在△ABC所在平面上有一点P,满意++=,则△PAB与△ABC的面积的比值是.?
【解析】由题意可得+++=0,
所以+2=0,即=2,
所以P是线段AC的三等分点(靠近点A),
易知S△PAB=S△ABC,即S△PAB∶S△ABC=1∶3.
答案:1∶3
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.单位圆上三点A,B,C满意++=0,则向量,的夹角为.?
【解析】因为A,B,C为单位圆上三点,
所以||=||=||=1,又因为++=0.所以-=+.
所以=(+)2=++2·,
设,的夹角为θ,
可得cosθ=-