三次函数y=ax^3+bx^2+cx+d的性质及应用.pdf

维普资讯 } 三次函数Y=ax3+ 2+cx+d的 ^ 性质及其应用 口 武汉市武昌水果湖高级中学 黄能容 综观2004年全国及各省、市高考试卷，高中数学新增内容(向量、概率统计、导数 等)占有相当的比重，其中导数在函数中的应用已成为高考的热点．笔者对2004年全 国及各省地高考试题进行分析研究，发现导数在三次函数中的应用出现在多套试卷 之中(特别是文科试卷)，而这些试题难度适中，属中档题，为大多数考生的得分题，应 引起广大考生、教师的足够重视．笔者根据自己的教学心得及体会，对三次函数的性 质作了一些归纳、小结，希望能对2005年的考生的复习备考有所帮助． 三次函数Y=甜0+bx+CX+d(口≠0)的性质 1．定义域及值域 定义域、值域均为R，函数在R上连续可导． 2．图形特征 要么是在(一oo，+oo)上单调连续的一条曲线，要么是有两个极值点的连续曲 线．曲线不可能只有一个极值点． 3．根的个数 三次方程甜0+如+凹+d=0至少有一实根(因三次函数在R上连续、值域为R)． (1)有三个不同实根时，三次函数f()=a(— 1)(—2)(—x3)必有两个 不同极值点．(证明略) 设两个极值点为Xl、X2且XlX2． 则n0时在区间(一oo，z1]上函数递增，在区间[z1，z2]上递减，在区间 [2，+oo)上递增，1处有极大值，2处有极小值，aO时则相反． (2)有两个不同实根时，f(x)=a(— 1)(—2)，此时函数有两个极值点，其 中一个为 2，函数图象在(2，0)处与 轴相切．(证明略) (3)有一个实数根时， (口)厂()=口(z— 1)0，此时函数单调，无极值点； (b)／’()=a(z— 1)(+px+q)，其中 +px+q的30． 此时函数可能单调无极值点，亦可能有两个极值点． ’ 2005年第3期 维普资讯 例如：(1) 一1：(—1)(+ +1)，Y=3x≥0， 函数在R上单调递增， 无极值点． (2)= (,27一4x+5)， =(3x一5)(—1)，有两个不同极值点 ． 4．单调性及极值点． 导数 =3ax+2bx+c判别式△=4b2—12 ． ． (1)△0时，函数有两个极值点 。 ，． a0时在(一oo，X1]及[ro2，+oo)上递增，在[l，2]上递减，l处为极大，2 处为极小． 口0时相反． (2)△=0时， =a(—0)只有个别点处 =0时 ：0． 当a0时，x：fi：xo时 0，函数在R上递增，=0为拐点(非极值点)； a0时，当x：fi：xo时y0，函数在R上递减，=0为拐点． (3)a0时，口0，f(ro)在R上递增，a0，f(ro)在R上递减． 5．闭区间上的最大最小值． 三次函数在闭区间[a，b]上的最大最小值只可能在端点及极值点处取得． 例1 (2004年高考全国卷)已知函数f()=ar．+3x一 +l在R上是减函 数，求a的取值范围． 解：f()=3ax+6x一1，△=36+12a， 当a0且△0时，即a一3时 ()0恒成立，，()在R上递减． 当△=0时，口=一3， 厂(ro)=一9 +6x—l = 一 (3x—1)， ≠{时f()0恒成立． · ，()在(一oo，了1及 了1 ． ．