12.数学建模–随机微分方程法.ppt

§13. 常见的数学建模方法(8) ---- 随机微分方程法 ;股票价格变化的这个性质被称为 “股价具有弱市场有效性 ” (the weak form of market efficiency). ;(2) 维纳 ( Wiener) 过程 ;下面我们考虑在一段相当长的时间 T 中 z 值的变化量, 我们将它表示 为: z ( T ) – z ( 0 ) . ;因此, , 遵循维纳过程的随机变量 , 在任意长度为 T 的时间间隔内的 变化量服从于均值为 0、标准差为;;ii) 一般化维纳过程 ( generalized wiener process ) 在基本维纳过程的基础上, 还可以定义一个广义类型的维纳过程.;; 随机微分方程 ( # ) 也可改写为: ; 容易看出, Δx 的均值 = aΔt , Δx 的方差 = b2Δt , Δx 的标准差 =;(3) 股票价格的随机模型;根据与标准正态分布密度函数图像的对照，可以说统计数字反映 出日回报率近似于正态分布，故我们可以假定：回报率是一个服从 于正态分布的随机变量。也就是说?? Ri = 均值 + 标准差 × ε, 其中ε 是一个标准正态分布变量 .;这样就有： ;ITO引理 假设变量 x = x ( t ) 遵循 ITO 过程 : dx = a (x , t) dt + b (x , t) dz , 则函数G (x , t) 遵循如下的 ITO 过程 :;证明: 根据二元函数的泰勒展开式 , 有: ; ;这是因为如考虑 S 的函数 G ( S, t ) = lnS , 这里，股票价格 S 遵循几 何布朗运动 ( ITO过程 ): dS =μS dt +σS dz , 其中μ和σ均为常数 , dz 遵循(基本)维纳过程. 根据 ITO 引理 , 由于 ;因此, ;正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为 95 % , 因此 , 置信度为 95 % 时, 3.759 - 2×0.1413.477 ln ST 4.041 = 3.759 + 2×0.141 , 即 32.36 = e 3.477 ST e 4.041 = 56.88 . 故六个月后股票价格应落在 32.36 和 56.88 之间 ( 95 % 的概率) .